Función de Möbius

La función de Möbius μ(n), nombrada así en honor a August Ferdinand Möbius, es una función multiplicativa estudiada en teoría de números y en combinatoria.

Definición

μ(n) está definida para todos los enteros positivos n^[1]​ y tiene valores en {-1, 0, 1} dependiendo en la factorización de n en sus factores primos. Se define como sigue:

• μ(n) = 1 si n es libre de cuadrados y tiene un número par de factores primos.
• μ(n) = -1 si n es libre de cuadrados y tiene un número impar de factores primos.
• μ(n) = 0 si n es divisible por algún cuadrado.

Una definición equivalente se define haciendo uso de las funciones ω(n) y Ω(n), donde:

• ω(n) obtiene el número de primos distintos que dividen el número.
• Ω(n) obtiene el número de factores primos de n, incluyendo sus multiplicidades. Claramente, ω(n) ≤ Ω(n).

Así, se define la función de Möbius como

${\displaystyle \mu (n)={\begin{cases}(-1)^{\omega (n)}=(-1)^{\Omega (n)}&{\mbox{si }}\;\omega (n)=\Omega (n)\\0&{\mbox{si }}\;\omega (n)<\Omega (n).\end{cases}}}$ 

La definición implica que μ(1) = 1, ya que 1 tiene 0 factores primos distintos, por lo tanto, un número par.

Representación

La tabla de valores de μ(n) para los veinte primeros números enteros positivos (sucesión A008683 en OEIS) es:^[2]​

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
μ(n)	1	−1	−1	0	−1	1	−1	0	0	1	−1	0	−1	1	1	0	−1	0	−1	0

Los 50 primeros valores de la función μ(n), representados en la gráfica siguiente:

 

Propiedades y aplicaciones

La función de Möbius es multiplicativa, y tiene gran relevancia en la teoría de las funciones multiplicativas y aritméticas puesto que aparece en la fórmula de inversión de Möbius. La suma sobre todos los divisores positivos de n de la función de Möbius es cero excepto cuando n = 1.

${\displaystyle \sum _{d|n}\mu (d)={\begin{cases}1&{\mbox{ si }}n=1\\0&{\mbox{ si }}n>1.\end{cases}}}$ 

Otras aplicaciones de μ(n) en combinatoria están relacionadas con el uso del teorema de Pólya en grupos combinatorios.

Teoría de números

Artículo principal: Función de Mertens

En teoría de números, la función de Mertens está emparentada con la función de Möbius, y se define como:

${\displaystyle M(n)=\sum _{1\leq k\leq n}\mu (k)}$ 

para todo número natural n. Esta función está relacionada con las posiciones de los ceros de la función ζ de Euler-Riemann y con la conjetura de Riemann.

Véase también

• Fórmula de inversión de Möbius
• Función de Mertens
• Función de Liouville
• Suma de Ramanujan

Referencias

1. I. Vinogradov. Fundamentos de la teoría de los números. Editorial Mir, Moscú, 1977, segunda edición.
2. Vinogradov. Op. cit.

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. «Möbius function». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 
• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), «Función de Möbius», Encyclopaedia of Mathematics (en inglés), Springer, ISBN 978-1556080104 .

•   Datos: Q205243
•   Multimedia: Moebius function