Un número enteron es libre de cuadrados si no existe un número primop tal que p2divide a n. Esto quiere decir que los factores primos de n son todos distintos, luego
Los enteros libres de cuadrados hasta 120, que quedan tras eliminar los múltiplos de los cuadrados de los primos menores que √120.
De esta forma, 10=2·5 es libre de cuadrados, pero 20=22·5 no lo es, porque es divisible por un cuadrado. Los primeros enteros libres de cuadrados son:
Alternativamente, si el número a al expresarlo como producto de factores primos, todos ellos tienen exponente 1, se dice que a es entero exento de cuadrados.[1]
Función generadora de Dirichlet
Si q(n)=1, donde n es un entero que no contiene ningún cuadrado en su factorización y q(n)=0 donde n contiene uno o más cuadrados en su factorización, la función q(n) viene definida como , siendo μ(n) la función de Möbius. Entonces, la función generadora de Dirichlet para los enteros libres de cuadrados es
entero, libre, cuadrados, número, entero, libre, cuadrados, existe, número, primo, divide, esto, quiere, decir, factores, primos, todos, distintos, luegolos, enteros, libres, cuadrados, hasta, quedan, tras, eliminar, múltiplos, cuadrados, primos, menores, prim. Un numero entero n es libre de cuadrados si no existe un numero primo p tal que p2 divide a n Esto quiere decir que los factores primos de n son todos distintos luegoLos enteros libres de cuadrados hasta 120 que quedan tras eliminar los multiplos de los cuadrados de los primos menores que 120 n p 1 p 2 p k i 1 k p primo p i displaystyle n p 1 p 2 cdots p k prod i in 1 cdots k atop p text primo p i De esta forma 10 2 5 es libre de cuadrados pero 20 22 5 no lo es porque es divisible por un cuadrado Los primeros enteros libres de cuadrados son 1 2 3 5 6 7 10 11 13 14 15 17 19 21 22 23 26 29 30 31 33 34 35 37 38 39 sucesion A005117 en OEIS Alternativamente si el numero a al expresarlo como producto de factores primos todos ellos tienen exponente 1 se dice que a es entero exento de cuadrados 1 Indice 1 Funcion generadora de Dirichlet 2 Distribucion de los numeros libres de cuadrados 3 Referencias 4 Enlaces externosFuncion generadora de Dirichlet EditarSi q n 1 donde n es un entero que no contiene ningun cuadrado en su factorizacion y q n 0 donde n contiene uno o mas cuadrados en su factorizacion la funcion q n viene definida como q n m n displaystyle q n mu n siendo m n la funcion de Mobius Entonces la funcion generadora de Dirichlet para los enteros libres de cuadrados es n 1 q n n s n 1 m n n s z s z 2 s displaystyle sum n 1 infty frac q n n s sum n 1 infty frac mu n n s frac zeta s zeta 2s donde z s es la funcion zeta de Riemann Esto puede ser visto facilmente del producto de Euler z s z 2 s p 1 p 2 s 1 p s p 1 p s displaystyle frac zeta s zeta 2s prod p frac 1 p 2s 1 p s prod p 1 p s Distribucion de los numeros libres de cuadrados EditarSi Q x indica el numero de numeros libres de cuadrados menores o iguales que x entonces Q x 6 x p 2 O x displaystyle Q x frac 6x pi 2 O sqrt x vease p La densidad de los numeros libres de cuadrados es por tanto lim x Q x x 6 p 2 displaystyle lim x to infty frac Q x x frac 6 pi 2 Referencias Editar Niven y Zuckerman Introduccion a la teoria de numeros Limusa Mexico 1985 Guy Richard K 2004 Unsolved problems in number theory 3rd edicion Springer Verlag ISBN 0 387 20860 7 Zbl 1058 11001 Enlaces externos EditarWeisstein Eric W Square free En Weisstein Eric W ed MathWorld en ingles Wolfram Research Datos Q50706 Obtenido de https es wikipedia org w index php title Entero libre de cuadrados amp oldid 148921173, wikipedia, wiki, leyendo, leer, libro, biblioteca,