Función indicatriz

En matemáticas, la función indicatriz o función característica de un subconjunto ${\displaystyle \ A\subseteq X}$es una función definida en el conjunto ${\displaystyle \ X}$, y que indica la pertenencia, o no, de cada elemento de ${\displaystyle \ X}$ al subconjunto ${\displaystyle \ A}$, al asignar el valor 1 a todos los elementos de ${\displaystyle \ A}$ y el valor 0 a todos los elementos de ${\displaystyle \ X\setminus A}$ (no incluidos en ${\displaystyle \ A}$).

Gráfico de una función indicatriz que muestra a un subconjunto de los puntos de un cuadrado en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ (en rojo), donde los puntos ${\displaystyle x\in A}$ tienen coordenada z=1 (color ocre), mientras que los puntos ${\displaystyle x\notin A}$ del cuadrado tienen coordenada z=0 (rojos).

Para otros usos de este término, véase Función indicatriz (desambiguación).

Definición

La función indicatriz del subconjunto ${\displaystyle \ A}$  del conjunto ${\displaystyle \ X}$  es una función

${\displaystyle \mathbf {1} _{A}:X\to \{0,1\}\,}$ 

definida como

${\displaystyle \mathbf {1} _{A}(x)={\begin{cases}1&{\text{si }}x\in A,\\0&{\text{si }}x\notin A.\end{cases}}}$ 

El corchete de Iverson permite una notación equivalente, ${\displaystyle [x\in A]}$ , que puede usarse en lugar de ${\displaystyle \mathbf {1} _{A}(x).}$ 

La función ${\displaystyle \mathbf {1} _{A}}$  en ocasiones se expresa ${\displaystyle \chi _{A}\!}$  o ${\displaystyle \mathbf {I} _{A}\!}$  o incluso ${\displaystyle A\!}$ . (La letra ${\displaystyle \chi \!}$  se usa porque es la letra inicial de la palabra característica en griego.)

Propiedades básicas

La función indicatriz o característica de un subconjunto ${\displaystyle A\!}$  de un conjunto ${\displaystyle X\!}$ , asocia elementos de ${\displaystyle X\!}$  al conjunto ${\displaystyle \{0,1\}\!}$ .

La correspondencia es sobreyectiva solo cuando ${\displaystyle A}$  es un subconjunto propio de ${\displaystyle X\!}$ . Si ${\displaystyle A\equiv X\!}$ , entonces ${\displaystyle \mathbf {1} _{A}=1}$ . Por un argumento similar, si ${\displaystyle A\equiv \varnothing }$  entonces ${\displaystyle \mathbf {1} _{A}=0}$ .

En lo siguiente, el punto representa multiplicación, 1·1 = 1, 1·0 = 0 etc. "+" y "−" representan suma y resta. "${\displaystyle \cap }$ " y "${\displaystyle \cup }$ " son intersección y unión respectivamente.

Si ${\displaystyle A\!}$  y ${\displaystyle B\!}$  son dos subconjuntos de ${\displaystyle X\!}$ , entonces

${\displaystyle \mathbf {1} _{A\cap B}=\min\{\mathbf {1} _{A},\mathbf {1} _{B}\}=\mathbf {1} _{A}\cdot \mathbf {1} _{B},\,}$  (intersección de conjuntos)

${\displaystyle \mathbf {1} _{A\cup B}=\max\{{\mathbf {1} _{A},\mathbf {1} _{B}}\}=\mathbf {1} _{A}+\mathbf {1} _{B}-\mathbf {1} _{A}\cdot \mathbf {1} _{B},}$  (unión de conjuntos)

${\displaystyle \mathbf {1} _{A\Delta B}=\max\{{\mathbf {1} _{A},\mathbf {1} _{B}}\}=\mathbf {1} _{A}+\mathbf {1} _{B}-2\cdot \mathbf {1} _{A}\cdot \mathbf {1} _{B},}$  (diferencia simétrica de conjuntos)

${\displaystyle \mathbf {1} _{A^{\complement }}=1-\mathbf {1} _{A}.}$  (complemento de un conjunto)

Pero si tomamos ${\displaystyle \{0,1\}}$  como el anillo ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$  con sus operaciones de suma y producto habituales, entonces:

${\displaystyle \mathbf {1} _{A\cap B}=\mathbf {1} _{A}\cdot \mathbf {1} _{B},\,}$  (intersección de conjuntos)

${\displaystyle \mathbf {1} _{A\Delta B}=\mathbf {1} _{A}+\mathbf {1} _{B},\,}$  (diferencia simétrica de conjuntos)

mostrando que la función que asigna a cada subconjunto del conjunto potencia de ${\displaystyle X\!}$  su función característica es un isomorfismo de anillos entre el conjunto potencia de ${\displaystyle X\!}$  (con la intersección y la diferencia simétrica de conjuntos como producto y suma respectivamente) y el conjunto de las funciones de ${\displaystyle X\!}$  en ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$  con la suma y producto de funciones definidas por las operaciones dentro del anillo ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$  punto a punto sobre todo ${\displaystyle X\!}$ .

Continuando con el complemento de conjuntos, y generalizando: supongamos que ${\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{n}}$  es una colección de subconjuntos de ${\displaystyle X\!}$ ; si denotamos ${\displaystyle I_{n}=\{1,2,3,...,n\}}$  como el conjunto de índices, entonces:

${\displaystyle \prod _{k\in I_{n}}(1-\mathbf {1} _{A_{k}}(x))}$  , para todo ${\displaystyle x\in X}$ .

es claramente un producto de ${\displaystyle 0}$ s y ${\displaystyle 1}$ s. Este producto vale 1 precisamente para los ${\displaystyle x\in X}$  que no pertenecen a ninguno de los conjuntos ${\displaystyle A_{k}\!}$  y ${\displaystyle 0}$  en caso contrario. Esto es,

${\displaystyle \prod _{k\in I_{n}}(1-\mathbf {1} _{A_{k}})=\mathbf {1} _{X-\bigcup _{k}A_{k}}=1-\mathbf {1} _{\bigcup _{k}A_{k}}.}$ 

Expandiendo el producto del lado izquierdo,

${\displaystyle \mathbf {1} _{\bigcup _{k}A_{k}}=1-\sum _{F\subseteq \{1,2,\ldots ,n\}}(-1)^{|F|}\mathbf {1} _{\bigcap _{F}A_{k}}=\sum _{\emptyset \neq F\subseteq \{1,2,\ldots ,n\}}(-1)^{|F|+1}\mathbf {1} _{\bigcap _{F}A_{k}}}$ 

donde ${\displaystyle |F|\!}$  es la cardinalidad de ${\displaystyle F\!}$ . Esta es una forma del principio de inclusión-exclusión.

Como sugiere el ejemplo anterior, la función indicatriz es un elemento útil para notación en combinatoria. La notación se usa en otras partes también, por ejemplo en teoría de la probabilidad: si ${\displaystyle X\!}$  es un espacio de probabilidad con medida de probabilidad ${\displaystyle \mathbb {P} }$  y ${\displaystyle A\!}$  es un conjunto medible, entonces ${\displaystyle \mathbf {1} _{A}}$  se convierte en una variable aleatoria cuyo valor esperado es igual a la probabilidad de ${\displaystyle A\!}$ :

${\displaystyle \operatorname {E} (\mathbf {1} _{A})=\int _{X}\mathbf {1} _{A}(x)\,d\mathbb {P} =\int _{A}d\mathbb {P} =\operatorname {P} (A).\quad }$ 

Esta identidad se usa en una prueba simple de la desigualdad de Markov.

En muchos casos, como en teoría del orden, la inversa de la función indicatriz puede definirse.

Véase también

• Función definida a trozos
• Delta de Kronecker
• Multiconjunto
• Función escalonada
• Kenneth Iverson

•   Datos: Q371983