Función indicatriz de Jordan

En teoría de números, la función indicatriz de Jordan ${\displaystyle J_{k}(n)}$ de un entero positivo n es el número de k-tuplas de enteros positivos todos menores o iguales a n que forman una (k + 1)-tupla coprima junto con n. Esta es una generalización de la función φ de Euler, que es J₁. La función se llaman en honor de Camille Jordan.

Definición

La función indicatriz de Jordan es una función multiplicativa y puede ser evaluada como

${\displaystyle J_{k}(n)=n^{k}\prod _{p|n}\left(1-{\frac {1}{p^{k}}}\right).\,}$ 

Propiedades

• ${\displaystyle \sum _{d|n}J_{k}(d)=n^{k}.\,}$ 

La cual puede ser escrita en el lenguaje de convoluciones de Dirichlet como

${\displaystyle J_{k}(n)\star 1=n^{k}\,}$ 

y utilizando inversión de Möbius como

${\displaystyle J_{k}(n)=\mu (n)\star n^{k}}$ .

Puesto que la función generadora de Dirichlet de μ es 1/ζ(s) y la función generadora de n^k es ζ(s-k), las series para J_k se convierten en

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {J_{k}(n)}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s-k)}{\zeta (s)}}}$ .

• The orden medio de J_k(n) es c n^k para algún c.

• La función psi de Dedekind es

${\displaystyle \psi (n)={\frac {J_{2}(n)}{J_{1}(n)}}}$ ,

y mediante inspección de la definición (reconociendo que cada factor en el producto sobre los números primos es un polinomio ciclotómico de p^-k), las funciones aritméticas definidas mediante ${\displaystyle {\frac {J_{k}(n)}{J_{1}(n)}}}$  o ${\displaystyle {\frac {J_{2k}(n)}{J_{k}(n)}}}$  pueden mostrarse que son funciones multiplicativas evaluadas en los números enteros.

• ${\displaystyle \sum _{\delta \mid n}\delta ^{s}J_{r}(\delta )J_{s}\left({\frac {n}{\delta }}\right)=J_{r+s}(n)}$       ^[1]​

Orden del grupo de matrices

El grupo general lineal de matrices de orden m sobre Z_n tienen orden^[2]​

${\displaystyle |\operatorname {GL} (m,\mathbf {Z} _{n})|=n^{\frac {m(m-1)}{2}}\prod _{k=1}^{m}J_{k}(n).}$ 

El grupo especial lineal de matrices de orden m sobre Z_n tiene orden

${\displaystyle |\operatorname {SL} (m,\mathbf {Z} _{n})|=n^{\frac {m(m-1)}{2}}\prod _{k=2}^{m}J_{k}(n).}$ 

El grupo simpléctico de matrices de orden m sobre Z_n tiene orden

${\displaystyle |\operatorname {Sp} (2m,\mathbf {Z} _{n})|=n^{m^{2}}\prod _{k=1}^{m}J_{2k}(n).}$ 

Las dos primeras fórmulas fueron descubiertas por Jordan.

Ejemplos

Listas explícitas en OEIS son J₂ en A007434, J₃ en A059376, J₄ en A059377, J₅ en A059378, J₆ hasta J₁₀ en A069091 hasta A069095.

Funciones multiplicativas definidas por sus relaciones son J₂(n)/J₁(n) in A001615, J₃(n)/J₁(n) in A160889, J₄(n)/J₁(n) in A160891, J₅(n)/J₁(n) in A160893, J₆(n)/J₁(n) in A160895, J₇(n)/J₁(n) in A160897, J₈(n)/J₁(n) in A160908, J₉(n)/J₁(n) in A160953, J₁₀(n)/J₁(n) in A160957, J₁₁(n)/J₁(n) in A160960.

Ejemplos de relaciones J_2k(n)/J_k(n) son J₄(n)/J₂(n) en A065958, J₆(n)/J₃(n) en A065959, y J₈(n)/J₄(n) en A065960.

Notas

1. Holden et al en enlaces externos. La fórmula es de Gegenbauer.
2. Todas estas fórmulas provienen de Andrici y Priticari en #Enlaces externos.

Referencias

• L. E. Dickson (1919, repr.1971). History of the Theory of Numbers, Vol. I. Chelsea. p. 147. ISBN 0-8284-0086-5. 
• M. Ram Murty (2001). Problems in Analytic Number Theory. Graduate Texts in Mathematics 206. Springer-Verlag. p. 11. ISBN 0-387-95143-1. 

Enlaces externos

• Andrica, Dorin; Piticari, Mihai (2004). «On some Extensions of Jordan's arithmetical Functions». Acta universitatis Apulensis (7). MR 2157944. 
• Holden, Matthew; Orrison, Michael; Varble, Michael. . Archivado desde el original el 5 de marzo de 2016. Consultado el 7 de enero de 2013. 
• Jordan's Totient Function en PlanetMath.

•   Datos: Q6276303