Elemento mayorante y minorante
En matemáticas, particularmente en teoría del orden y de conjuntos, el mayorante o cota superior de un subconjunto B de un conjunto parcialmente ordenado A es un elemento de A mayor o igual que cualquier elemento de B.
Ejemplo
Así dado el conjunto A:
Para el conjunto A en el que se ha definido una relación binaria entre sus elementos, que expresaremos y siendo x e y elementos de A la relación se representa:
que se lee: x antecede a y.
Si la relación cumple las propiedades reflexiva, antisimétrica y transitiva, es por lo tanto es un conjunto parcialmente ordenado.
Si se cumple que:
el elemento x antecede a y o y antecede a x, se dice que x y y son elementos comparables.
Si se cumple que:
el elemento x no antecede a y y que y no antecede a x, se dice que x y y son no comparables.
Dado el conjunto B subconjunto de A
Los mayorantes de B son todos los elementos de A que son antecedidos por todos los elementos de B, en este caso: i, j, k y l son mayorantes de B.
Otras definiciones
Entre todos los mayorantes o cotas superiores del conjunto A en el que se ha definido una relación binaria: , siendo este conjunto respecto a la relación binaria un conjunto parcialmente ordenado.
Dado el conjunto B subconjunto de A
Se denomina supremo de B a la menor de estas cotas superiores.
Si, además, el supremo pertenece no sólo al conjunto A sino también a B se denomina máximo de B.
1 2 3 4 mayorantes: i, j, k, l. mayorantes: no existe mayorantes: i, j, k, l. mayorantes: i, j, k, l. supremo: i. supremo: no existe supremo: i. supremo: i. mayor: i. mayor: no existe mayor: i. mayor: i. minorantes: a. minorantes: a. minorantes: no existe minorantes: a, b, d, e. ínfimo: a ínfimo: a. ínfimo: no existe ínfimo: e. menor: no existe menor: no existe menor: no existe menor: e.
Ejemplos
- Para el intervalo de números reales (0; 10]: 10 y 11 son mayorantes. 10 sería el supremo del intervalo, y, como además pertenece al mismo, también sería el máximo.
- no tiene mayorante en .
Minorante
En matemáticas, particularmente en teoría del orden y de conjuntos, el minorante o cota inferior de un subconjunto S de un conjunto parcialmente ordenado P es un elemento de P menor o igual que cualquier elemento de S.
Entre todos los minorantes o cotas inferiores del conjunto P, se denomina ínfimo de S a la mayor de estas cotas inferiores. Si, además el ínfimo pertenece no sólo al conjunto P sino también a S se denomina mínimo de S.
Ejemplo
Así dado el conjunto A:
Para el conjunto A en el que se ha definido una relación binaria entre sus elementos, que expresaremos y siendo x e y elementos de A la relación se representa:
que se lee: x antecede a y.
Si la relación cumple las propiedades reflexiva, antisimétrica y transitiva, es por lo tanto es un conjunto parcialmente ordenado.
Si se cumple que:
el elemento x antecede a y o y antecede a x, se dice que x y y son elementos comparables.
Si se cumple que:
el elemento x no antecede a y y que y no antecede a x, se dice que x y y son no comparables.
Dado el conjunto B subconjunto de A
Los minorante de B son todos los elementos de A que anteceden a todos los elementos de B, en este caso: a, b, d y e son minorantes de B
En el ejemplo c no es minorante de B al ser no comparable con e ni con h.
- Para el intervalo de números reales (0 ; 10]: 0 y -7 son minorantes. 0 sería el ínfimo, pero como no pertenece al intervalo, no sería mínimo del intervalo.
- Para este otro intervalo de números reales -5 y -23 son minorantes, mientras que 0 es su ínfimo y también el mínimo ya que pertenece al intervalo.
Programación
Refiere a la propiedad que cumple cierto valor dentro de un conjunto/lista L de valores ordenados. Como ejemplo se encuentra esta definición aplicada a la solución del problema The Playboy Chimp para dar usa solución eficiente en tiempo.
Dado un elemento C que puede o no pertenecer a dicho conjunto. x es cualquier valor de dicho conjunto que puede ser igual a C.
Lower bound: El mayor valor de C que es estrictamente menor. (∃x |x ∈ L: x < C )
Upper bound: El menor valor de C que es estrictamente mayor. (∃x |x ∈ L: x > C )
- Implementación en Python
def lower_bound(a, c): #Inferior (Izq) el mas grande de los pequeños ans = -1 if a[0] >= c: ans = -1 else: low, hi = 0, len(a) while low+1 != hi: mid = low + ((hi-low)//2) if a[mid] < c: low = mid else: hi = mid ans = low return ans def upper_bound(a, c): #superior (Der) el mas pequeño de los grandes ans = -1 if a[len(a)-1] <= c: ans = -1 else: low, hi = 0, len(a) while low+1 != hi: mid = low + ((hi-low)//2) if a[mid-1] > c: hi = mid else: low = mid ans = low return ans # El algoritmo retorna el indice que cumple con la definición. # si retorna -1.. el valor no se puede encontrar en a ; a es una lista ordenada ascendentemente de números natural. # Se llama así: print( down_bound(L, c), upper_bound(L, c) ) Ejemplos de la salida del algoritmo
Cada resultado en Down bound y en Upper bound es el correspondiente al valor en C. C es una lista de números.
L = [2,3,5,7,12,15] ; L es una lista de números naturales
Valor de C = {1,2,3,5,12,15,16,100}
Down bound = {-1, -1, 0, 1, 3, 4, 5, 5}
Upper bound = {0, 1, 2, 3, 5, -1, -1, -1}
Véase también
- Elemento mayorante y minorante
- Elemento mayor y menor
Referencias
- Birkhoff, Garrett (1967). Lattice Theory (en inglés) (2da edición). Estados Unidos: American Mathematical Society, Colloquium Publications. pp. 423. ISBN 0-8218-1025-1. ISSN 0065-9258. Consultado el 21 de noviembre de 2010. (requiere registro).