Elemento supremo e ínfimo

Para otros usos de este término, véase suprema.

En matemáticas, dado un subconjunto ${\displaystyle S}$ de un conjunto parcialmente ordenado ${\displaystyle \left(P,<\right)}$, el supremo de ${\displaystyle S}$, si existe, es el mínimo elemento de ${\displaystyle P}$ que es mayor o igual a cada elemento de ${\displaystyle S}$. En otras palabras, es la mínima de las cotas superiores de ${\displaystyle S}$. El supremo de un conjunto ${\displaystyle S}$ comúnmente se denota como ${\displaystyle \sup S}$.

Un conjunto A de números reales (representados por círculos azules), un conjunto de cotas superiores de A (círculos rojos), y el mínimo de las cotas superiores, el supremo de A (diamante rojo).

Definiciones

Sea ${\displaystyle T}$  un subconjunto no vacío de ${\displaystyle \mathbb {R} }$ .

1. Si ${\displaystyle T}$  está acotado por arriba , entonces se dice que una cota superior es un supremo - o una mínima cota superior- de ${\displaystyle T}$  si es menor que cualquier cota superior de ${\displaystyle T}$ . En tal caso, a esa cota superior se le denota ${\displaystyle \sup T}$ .
2. Si ${\displaystyle T}$  está acotado por de abajo, entonces se dice que una cota inferior es un ínfimo - o una máxima cota inferior- de ${\displaystyle T}$  si es mayor que cualquier cota inferior de ${\displaystyle T}$ . En tal caso, a esa cota inferior se le denota ${\displaystyle \inf T.}$ ^[1]​

Propiedades

• En el campo de los números reales, todo subconjunto no vacío, acotado superiormente posee un supremo, contenido o no dentro del subconjunto.

• ${\displaystyle s}$  es supremo del subconjunto ${\displaystyle T}$  no vacío del conjunto ${\displaystyle \mathbb {R} }$  de números reales si es cota superior de ${\displaystyle T}$  y si, y solo si para toda ${\displaystyle \varepsilon >0}$  existe ${\displaystyle s_{\varepsilon }}$  en ${\displaystyle T}$  tal que ${\displaystyle s-\varepsilon <s_{\varepsilon }}$ .

• ${\displaystyle r}$  es ínfimo del subconjunto ${\displaystyle T}$  no vacío del conjunto ${\displaystyle \mathbb {R} }$  de números reales si es cota inferior de ${\displaystyle T}$  y si, y solo si para toda ${\displaystyle \varepsilon >0}$  existe ${\displaystyle r_{\varepsilon }}$  en ${\displaystyle T}$  tal que ${\displaystyle r+\varepsilon >r_{\varepsilon }}$ .

• Sean ${\displaystyle L}$  un subconjunto acotado de números reales y ${\displaystyle K}$  un subconjunto no vacío de ${\displaystyle L}$ . Se cumple que ${\displaystyle \inf L\leq \inf K\leq \sup K\leq \sup L}$ .^[2]​

• Si el supremo (ínfimo) existe, entonces es único
• ${\displaystyle \sup(A\cup B)=\max\{\sup(A),\sup(B)\}}$ , si es que dichos supremos existen
• ${\displaystyle \inf(A\cup B)=\min\{\inf(A),\inf(B)\}}$ , si es que dichos ínfimos existen
• Un conjunto tiene máximo (mínimo) si y solamente si el supremo (ínfimo) es un elemento de dicho conjunto.

Ejemplos

• ${\displaystyle \sup\{1,2,3\}=3\,}$ 
• ${\displaystyle \inf\{1,2,3\}=1\,}$ 
• ${\displaystyle \sup\{x\in \mathbb {R} |0<x<1\}=\sup\{x\in \mathbb {R} |0\leq x\leq 1\}=1\,}$ 
• ${\displaystyle \inf\{x\in \mathbb {R} |0<x<1\}=\inf\{x\in \mathbb {R} |0\leq x\leq 1\}=0\,}$ 

• ${\displaystyle \sup\{x\in \mathbb {Q^{+}} |x^{2}\leq 2\}={\sqrt {2}}\,}$ 
• ${\displaystyle \inf\{x\in \mathbb {Q^{+}} |x^{2}<2\}=0\,}$ 
• ${\displaystyle \sup \left\{(-1)^{n}-{\frac {1}{n}}|n\in \mathbb {N} \right\}=1\,}$ 
• ${\displaystyle \inf \left\{{\frac {1}{n}}|n\in \mathbb {N} \right\}=0\,}$ 

Véase también

• Acotado

• Elemento maximal y minimal
• Elemento máximo y mínimo

• Elemento mayorante y minorante
• Elemento mayor y menor

• Elemento supremo e ínfimo

Referencias

1. Bartle- Sherbert. Introducción al análisis matemático de una variable.ISBN 968-18-1725-7
2. Rodríguez y otros. cálculo diferencial e integral. Parte I

Literatura de consulta

• Rudin, Walter, Principles of Mathematical Analysis, Third Edition, McGraw-Hill, 1976.
• (en PlanetMath.org)
• Weisstein, Eric W. «Supremum function». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 

•   Datos: Q17502105
•   Multimedia: Infimum and supremum / Q17502105