Uno de las principales campos de estudio de la teoría de cuerpos es el de decidir si un polinomio con coeficientes en un cuerpo tiene raíces: es decir, si existe algún elemento tal que al evaluar el polinomio en él, este se anula (). Aun en el caso de que no sea así, siempre es posible encontrar un cuerpo mayor —una extensión de cuerpos— que contenga las soluciones de dicho polinomio. Se dice entonces que esos elementos son algebraicos sobre .
En general, puede ocurrir que una extensión de cuerpos contenga elementos que no son raíz de ningún polinomio con coeficientes en el cuerpo menor: a estos se les llama elementos trascendentes. Por el contrario, todo elemento de un cuerpo es algebraico sobre dicho cuerpo, ya que es raíz del polinomio .
Definición
Dado un cuerpo y una extensión, se dice que un elemento es algebraico sobre si y solo si existe un polinomio , que pertenece al anillo de polinomios con coeficientes en , tal que . En caso contrario se dice que es trascendente.
Construcción
Sean dos cuerpos y de forma que es extensión de . Sea . Si , entonces es raíz del polinomio, que es irreducible en (todo polinomio de grado 1 es irreducible en cualquier anillo de polinomios). Si , entonces realizamos la siguiente construcción:
Construimos el conjunto . Este conjunto es un cuerpo, es extensión de , es subcuerpo de , y de hecho es la menor extensión de que contiene a . Se le denomina extensión generada por sobre .
Como es sobreyectiva (ya que es isomorfismo), , que es subanillo de , quien a su vez es un cuerpo, luego es dominio íntegro por carecer de divisores de cero no nulos, con lo que también es dominio íntegro.
Pero si es dominio íntegro será un ideal primo de . Sabemos que (por hipótesis), luego . Además, si fuera (también por hipótesis). Con lo cual tenemos garantizado que es un polinomio irreducible en (por ser dominio de ideales principales). Además, como es dominio de ideales principales, todo ideal primo es maximal, con lo cual es ideal maximal de , luego es un cuerpo. Así es un subcuerpo de . Como , si será , con lo que se demuestra que es subcuerpo de .
Por otro lado, , con lo que . Así, es un subcuerpo de que contiene a y a . Como es la menor extensión de que contiene a llegamos a la conclusión de que .
En esta segunda situación (, o equivalentemente, existe algún irreducible con ) se dice que es algebraico sobre .
Polinomio mónico irreducible
Si es un elemento algebraico sobre el cuerpo de manera que , el polinomio que genera al núcleo de la aplicación evaluación (i.e., ) es irreducible. Dividiendo por su coeficiente principal (aquel escalar que multiplica a la mayor potencia de la variable ) se obtiene un polinomio mónico (es decir, de manera que su coeficiente principal es la unidad), que se denota por y se denomina polinomio mónico irreducible de respecto de .
elemento, algebraico, este, artículo, sección, necesita, referencias, aparezcan, publicación, acreditada, este, aviso, puesto, septiembre, 2016, matemáticas, más, concretamente, álgebra, abstracta, teoría, cuerpos, dice, elemento, algebraico, sobre, cuerpo, ra. Este articulo o seccion necesita referencias que aparezcan en una publicacion acreditada Este aviso fue puesto el 10 de septiembre de 2016 En matematicas mas concretamente en algebra abstracta y teoria de cuerpos se dice que un elemento es algebraico sobre un cuerpo si es raiz de algun polinomio con coeficientes en dicho cuerpo Los elementos algebraicos sobre el cuerpo de los numeros racionales reciben el nombre de numeros algebraicos Uno de las principales campos de estudio de la teoria de cuerpos es el de decidir si un polinomio p displaystyle p con coeficientes en un cuerpo K displaystyle mathbb K tiene raices es decir si existe algun elemento a K displaystyle a in mathbb K tal que al evaluar el polinomio en el este se anula p a 0 displaystyle p a 0 Aun en el caso de que no sea asi siempre es posible encontrar un cuerpo mayor una extension de cuerpos que contenga las soluciones de dicho polinomio Se dice entonces que esos elementos son algebraicos sobre K displaystyle mathbb K En general puede ocurrir que una extension de cuerpos contenga elementos que no son raiz de ningun polinomio con coeficientes en el cuerpo menor a estos se les llama elementos trascendentes Por el contrario todo elemento a displaystyle a de un cuerpo es algebraico sobre dicho cuerpo ya que es raiz del polinomio p x a displaystyle p x a Indice 1 Definicion 1 1 Construccion 2 Polinomio monico irreducible 3 Vease tambien 4 Enlaces externosDefinicion EditarDado un cuerpo K displaystyle K y una extension L K displaystyle L K se dice que un elemento a L displaystyle alpha in L es algebraico sobre K displaystyle K si y solo si existe un polinomio p K X displaystyle p in K X que pertenece al anillo de polinomios con coeficientes en K displaystyle K tal que p a 0 displaystyle p alpha 0 En caso contrario se dice que a displaystyle alpha es trascendente Construccion Editar Sean dos cuerpos K displaystyle K cdot y L displaystyle L cdot de forma que L displaystyle L es extension de K displaystyle K Sea a L displaystyle alpha in L Si a K displaystyle alpha in K entonces a displaystyle alpha es raiz del polinomio p x x a displaystyle p x x alpha que es irreducible en K x displaystyle K x todo polinomio de grado 1 es irreducible en cualquier anillo de polinomios Si a L K displaystyle alpha in L setminus K entonces realizamos la siguiente construccion Construimos el conjunto K a f a g a f g K x g a 0 displaystyle textstyle K alpha frac f alpha g alpha f g in K x g alpha neq 0 Este conjunto es un cuerpo es extension de K displaystyle K es subcuerpo de L displaystyle L y de hecho es la menor extension de K displaystyle K que contiene a a displaystyle alpha Se le denomina extension generada por a displaystyle alpha sobre K displaystyle K Construimos la aplicacion b K x K a displaystyle beta K x longrightarrow K alpha que a cada polinomio p x K x displaystyle p x in K x le hace corresponder su evaluacion en a displaystyle alpha i e b p p a displaystyle beta p p alpha Esta aplicacion es de hecho un homomorfismo de anillos conmutativos y unitarios y se denomina aplicacion evaluacion Ahora solo pueden darse dos situaciones ker b 0 displaystyle beta 0 En este caso se dice que a displaystyle alpha es elemento trascendente sobre K displaystyle K ker b 0 displaystyle ker beta neq 0 En este caso se dice que a displaystyle alpha es elemento algebraico sobre K displaystyle K DemostracionComo K x displaystyle K x es dominio de ideales principales y el nucleo de un homomorfismo de anillos es un ideal del anillo de partida del homomorfismo entonces ker b p displaystyle ker beta p esto es el ideal generado por p displaystyle p para algun p K x displaystyle p in K x Por el Primer Teorema de Isomorfia b i b p displaystyle beta i circ bar beta circ pi donde i im b K a displaystyle i operatorname im beta hookrightarrow K alpha es el monomorfismo inclusion canonica i e i r r displaystyle i r r cualquiera que sea el im b displaystyle in operatorname im beta p K x K x ker b displaystyle textstyle pi K x longrightarrow frac K x ker beta es el homomorfismo sobreyectivo aplicacion proyeccion canonica a cada p K x displaystyle p in K x le asigna su clase p p q q ker b displaystyle pi p bar q q ker beta en el cociente K x ker b displaystyle textstyle frac K x ker beta y b K x p K x ker b im b displaystyle textstyle bar beta frac K x p frac K x ker beta longrightarrow operatorname im beta es un isomorfismo de anillos unitarios Como b displaystyle bar beta es sobreyectiva ya que es isomorfismo im b im b K x p displaystyle operatorname im bar beta operatorname im beta cong frac K x p que es subanillo de K a displaystyle K alpha quien a su vez es un cuerpo luego im b displaystyle operatorname im beta es dominio integro por carecer de divisores de cero no nulos con lo que tambien K x p displaystyle textstyle frac K x p es dominio integro Pero si K x p displaystyle textstyle frac K x p es dominio integro sera p displaystyle p un ideal primo de K x displaystyle K x Sabemos que p ker b 0 displaystyle p ker beta neq 0 por hipotesis luego p 0 displaystyle p neq 0 Ademas si fuera p K U K x displaystyle p notin K U K x tambien por hipotesis Con lo cual tenemos garantizado que p displaystyle p es un polinomio irreducible en K x displaystyle K x por ser dominio de ideales principales Ademas como K x displaystyle K x es dominio de ideales principales todo ideal primo es maximal con lo cual p displaystyle p es ideal maximal de K x displaystyle K x luego K x p displaystyle textstyle frac K x p es un cuerpo Asi im b K x p displaystyle textstyle operatorname im beta cong frac K x p es un subcuerpo de K a displaystyle K alpha Como K K x displaystyle K subset K x si a K displaystyle a in K sera a b a i b p a i b p a i b a b a displaystyle a beta a i circ bar beta circ pi a i bar beta pi a i bar beta a bar beta a con lo que se demuestra que K displaystyle K es subcuerpo de im b displaystyle operatorname im beta Por otro lado b x i b x i b p x i b p x b x a displaystyle bar 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genera al nucleo de la aplicacion evaluacion i e ker b p displaystyle ker beta p es irreducible Dividiendo p displaystyle p por su coeficiente principal aquel escalar que multiplica a la mayor potencia de la variable x displaystyle x se obtiene un polinomio monico es decir de manera que su coeficiente principal es la unidad que se denota por m a K displaystyle m alpha K y se denomina polinomio monico irreducible de a displaystyle alpha respecto de K displaystyle K Claramente K a K x m a K displaystyle K alpha cong K x m alpha K Vease tambien EditarElemento trascendente Numero trascendente Numero algebraico Extension transcendente Extension algebraica Enlaces externos EditarWeisstein Eric W Algebraic Element En Weisstein Eric W ed MathWorld en ingles Wolfram Research Datos Q162608Obtenido de https es wikipedia org w index php title Elemento algebraico amp oldid 132814077, wikipedia, wiki, leyendo, leer, libro, biblioteca,