Extensión de cuerpos

En Álgebra, las extensiones de cuerpo son el problema fundamental de la Teoría de Cuerpos. Un cuerpo es un conjunto en el que las operaciones suma y producto están definidas y «funcionan bien». Cuando se construye una extensión de un cuerpo, se busca un conjunto más grande en el que las operaciones suma y producto sigan funcionando bien y además se puedan resolver las ecuaciones polinómicas.

Definición.

Sea (K, +, ·) un cuerpo. Un cuerpo L es una extensión de K si K es un subcuerpo de L, es decir si (L,+,·) es un cuerpo y (K,+,·) es un cuerpo con la restricción a K de las operaciones + y · en L. Si L es extensión sobre K se denota L:K o L/K.

Extensión sobre un cuerpo como espacio vectorial sobre el cuerpo

• Si L es una extensión de K, entonces L es un espacio vectorial sobre K.

En efecto, La adición de K sirve también de adición en el espacio vectorial, y la multiplicación de un elemento de K por uno de L define el producto escalar del espacio vectorial:

Por definición de cuerpo, ${\displaystyle (L,+)}$  es grupo abeliano, y podemos considerar el producto por escalares ${\displaystyle \cdot :K\times L\longrightarrow L}$  como una restricción a ${\displaystyle K\times L}$  del producto en ${\displaystyle \cdot :L\times L\longrightarrow L}$ . De esta forma es inmediato que se cumple que:

• ${\displaystyle a\cdot (\alpha +\beta )=(a\cdot \alpha )+(a\cdot \beta )}$ ,

• ${\displaystyle (a+b)\cdot \alpha =(a\cdot \alpha )+(b\cdot \alpha )}$ ,

• ${\displaystyle (a\cdot (b\cdot \alpha ))=(a\cdot b)\cdot \alpha }$ ,

• ${\displaystyle 1\cdot \alpha =\alpha }$ ,

cualesquiera que sean ${\displaystyle a,b\in K}$  y ${\displaystyle \alpha ,\beta \in L}$ . Las dos primeras propiedades son debidas a la distributividad del producto respecto de la suma en ${\displaystyle L}$  y a que ${\displaystyle K\subset L}$ , la tercera se debe a que el producto es asociativo en ${\displaystyle L}$ , y la cuarta se debe a que ${\displaystyle K}$  es subcuerpo de ${\displaystyle L}$ , por lo que el elemento unidad de ${\displaystyle L}$  es el elemento unidad de ${\displaystyle K}$ .

Extensión simple

Artículo principal: Extensión simple

El conjunto ${\displaystyle K(\alpha ):=\left\{{\frac {f(\alpha )}{g(\alpha )}}:f,g\in K[x],g(\alpha )\neq 0\right\}}$ . Este conjunto es un cuerpo, es extensión de ${\displaystyle K}$ , es subcuerpo de ${\displaystyle L}$ , y de hecho es la menor extensión de ${\displaystyle K}$  que contiene a ${\displaystyle \alpha }$ . Se le denomina extensión generada por α sobre ${\displaystyle K}$ .

Extensiones algebraicas y trascendentes

Teorema de Kronecker.

Sea ${\displaystyle K}$  un cuerpo y ${\displaystyle p\in K[x]}$  un polinomio irreducible, entonces existe alguna extensión ${\displaystyle L:K}$  de manera que ${\displaystyle p}$  tiene alguna raíz en ${\displaystyle L}$ .

Homomorfismo evaluación

La función ${\displaystyle \beta :K[x]\longrightarrow K(\alpha )}$  que a cada polinomio ${\displaystyle p(x)\in K[x]}$  le hace corresponder su evaluación en ${\displaystyle \alpha }$ , i.e., ${\displaystyle \beta (p)=p(\alpha )}$ . Esta aplicación es de hecho un isomorfismo de anillos conmutativos y unitarios, y se denomina homomorfismo evaluación.

Extensión algebraica

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Una extensión ${\displaystyle L:K}$  se dice que es algebraica si todo elemento ${\displaystyle \alpha \in L}$  es algebraico sobre ${\displaystyle K}$ .

Elementos algebraicos

Artículo principal: Elemento algebraico

Supongamos que existe algún polinomio ${\displaystyle p\in K[x]}$  que tiene a ${\displaystyle \alpha }$  por raíz.

En esta situación (${\displaystyle \ker(\beta )\neq \{0\}}$ , o equivalentemente, existe algún ${\displaystyle p\in K[x]}$  irreducible con ${\displaystyle {\frac {K[x]}{(p)}}\cong K(\alpha )}$ ) se dice que ${\displaystyle \alpha }$  es algebraico sobre ${\displaystyle K}$ .

Un elemento es entonces algebraico sobre un cuerpo si y sólo si es raíz de algún polinomio a coeficientes en dicho cuerpo.

Polinomio mónico irreducible

Si ${\displaystyle \alpha }$  es un elemento algebraico sobre el cuerpo ${\displaystyle K}$  de manera que ${\displaystyle \alpha \notin K}$ , el polinomio ${\displaystyle p}$  que genera al núcleo de la aplicación evaluación (i.e., ${\displaystyle \ker \beta =(p)}$ ) es irreducible. Dividiendo ${\displaystyle p}$  por su coeficiente principal (aquel escalar que multiplica a la mayor potencia de la variable ${\displaystyle x}$ ) se obtiene un polinomio mónico (es decir, de manera que su coeficiente principal es la unidad), que se denota por ${\displaystyle m_{\alpha }^{K}}$  y se denomina polinomio mónico irreducible de ${\displaystyle \alpha }$  respecto de ${\displaystyle K}$ .

Claramente, ${\displaystyle K(\alpha )\cong {\frac {K[x]}{(m_{\alpha }^{K})}}}$ .

Extensión trascendente

Artículo principal: Extensión transcendente

Una extensión ${\displaystyle L:K}$  se dice que es trascendente si existe algún elemento ${\displaystyle \alpha \in L}$  que sea trascendente sobre ${\displaystyle K}$ .

Elementos trascendentes

Artículo principal: Elemento trascendente

Si el ker${\displaystyle (\beta )=\{0\}}$ , será ${\displaystyle \beta }$  un monomorfismo. En ese caso, ${\displaystyle K(x)}$  es isomorfo a ${\displaystyle K(\alpha )}$ .

Se dirá que el elemento ${\displaystyle \alpha }$  es trascendente sobre ${\displaystyle K}$  y que ${\displaystyle K(\alpha )}$  es una extensión trascendente sobre ${\displaystyle K}$ . Además, no existirá ningún polinomio con coeficientes en ${\displaystyle K}$  que tenga por raíz a ${\displaystyle \alpha }$  (es decir, si ${\displaystyle p\in K[x]}$ , entonces ${\displaystyle p(\alpha )\neq 0}$ ).

Grado de una extensión

Artículo principal: Grado de una extensión

Como todo espacio vectorial tiene base, podemos calcular la dimensión de ${\displaystyle L}$  como espacio vectorial sobre ${\displaystyle K}$ , denotado por ${\displaystyle \operatorname {dim} _{K}(L)}$ . Se denomina grado de la extensión ${\displaystyle L:K}$  a la dimensión de ${\displaystyle L}$  como ${\displaystyle K}$ -espacio vectorial: ${\displaystyle [L:K]=\operatorname {dim} _{K}(L)}$ .

Tomemos varios ejemplos:

K = ${\displaystyle \mathbb {Q} }$  el cuerpo de los racionales y L = ${\displaystyle \mathbb {R} }$  el cuerpo de los reales; ${\displaystyle \mathbb {R} }$  visto como espacio vectorial sobre ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ , es de dimensión infinita, es decir, ${\displaystyle [\mathbb {R} :\mathbb {Q} ]=\infty }$ .

El resultado no sorprende si se considera los cardinales de ambos conjuntos: Si la dimensión de ${\displaystyle \mathbb {R} }$  sobre ${\displaystyle \mathbb {Q} }$  fuese finita, ${\displaystyle \mathbb {R} }$  sería isomorfo a ${\displaystyle \mathbb {Q} ^{n},n\in \mathbb {N} }$ , lo que no es posible porque ${\displaystyle |\mathbb {Q} ^{n}|=|\mathbb {Q} |=|\mathbb {N} |<|\mathbb {R} |}$ .

Si K = ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ , el cuerpo de los racionales y L = ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})}$ , el menor cuerpo que contiene a la vez ${\displaystyle \mathbb {Q} }$  y √2, claramente ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})}$  es una extensión algebraica de ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ , ya que ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$  es raíz del polinomio ${\displaystyle x^{2}-2}$ .

Al mismo tiempo:

${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})\cong \mathbb {Q} [x]/(x^{2}-2)}$ 

ya que el ideal ${\displaystyle (x^{2}-2)}$  es el núcleo del morfismo ${\displaystyle \beta :\mathbb {Q} [x]\longrightarrow \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})}$ , claramente este es un morfismo suprayectivo, se sigue del primer teorema de isomorfismo que son campos isomorfos.

Además ${\displaystyle [\mathbb {Q} ({\sqrt {2}}):\mathbb {Q} ]=2}$ , es decir, la dimensión de ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})}$  como espacio vectorial sobre ${\displaystyle \mathbb {Q} }$  es 2, esto es así ya que 2 es el grado del polinomio mónico e irreducible que tiene a √2 como raíz: ${\displaystyle x^{2}-2}$ .

En general:

${\displaystyle [\mathbb {K} (\alpha ):\mathbb {K} ]=n}$  si ${\displaystyle n}$  es el grado del polinomio mónico e irreducible en ${\displaystyle \mathbb {K} [x]}$  que tiene a ${\displaystyle \alpha }$  como raíz, donde ${\displaystyle \mathbb {K} }$  es un cuerpo y ${\displaystyle \mathbb {K} [x]}$  son los polinomios con coeficientes en ${\displaystyle \mathbb {K} }$ .

Véase también

• Teoría de cuerpos

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. «Extension Field». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 

•   Datos: Q577835