Distribución de tipo fase

Una distribución de tipo fase o distribución fásica es un una distribución de probabilidad que generaliza tanto la distribución exponencial, como la distribución de Erlang y otros tipos de distribuciones que involucran exponenciales. Explícitamente una distribución de tipo fase puede construirse como un una convolución de distribuciones exponenciales.^[1]​

Distribución de tipo fase
Parámetros	${\displaystyle \mathbf {T} =(T_{ij})\in \mathrm {GL} _{n}\subset M_{n\times n}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}=(\alpha _{j})\in \mathbb {R} ^{n}}$
Dominio	${\displaystyle [0,\infty )\!}$
Función de densidad (pdf)	${\displaystyle f_{\mathbf {T} ,{\boldsymbol {\alpha }}}(t)={\boldsymbol {\alpha }}\cdot e^{\mathbf {T} t}\cdot (-\mathbf {T} \cdot \mathbf {1} )}$
Función de distribución (cdf)	${\displaystyle F_{\mathbf {T} ,{\boldsymbol {\alpha }}}(t)=1-{\boldsymbol {\alpha }}\cdot e^{\mathbf {T} t}\cdot \mathbf {1} }$
Media	${\displaystyle -{\boldsymbol {\alpha }}\cdot \mathbf {T} ^{-1}\cdot \mathbf {1} }$
Mediana	(no admite una forma simple)
Moda	(no admite una forma simple)
Varianza	${\displaystyle 2{\boldsymbol {\alpha }}\mathbf {T} ^{-2}\mathbf {1} -({\boldsymbol {\alpha }}\mathbf {T} ^{-1}\mathbf {1} )^{2}}$
Coeficiente de simetría	-
Curtosis	-
Entropía	-
Función generadora de momentos (mgf)	${\displaystyle -{\boldsymbol {\alpha }}(t\mathbf {Id} +\mathbf {T} )^{-1}(-\mathbf {T} \cdot \mathbf {1} )+\alpha _{0}}$
Función característica	${\displaystyle -{\boldsymbol {\alpha }}(it\mathbf {Id} +\mathbf {T} )^{-1}(-\mathbf {T} \cdot \mathbf {1} )+\alpha _{0}}$
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Frecuentemente una distribución fásica aparece en un sistema donde hay diversos procesos de Poisson interrrelacionados secuencialmente o en fases. La secuencia en que cada "fase" aparece es en sí misma un proceso estocástico. La distribución fásica puede ser representada por una variable aleatoria que representa el tiempo de absorción de un proceso de Markov con un único estado absorbente. Cada uno de los estados del proceso de Markov asociado a una distribución fásica, se denomina "fase".

Las distribuciones fásicas tienen un equivalente en tiempo discreto conocido como distribución discreta de tipo fase. El conjunto de distribuciones fásicas es denso en el álgebra de todas las distribuciones positivas, es decir, cualquier distribución de probabilidad definida positiva puede ser aproximada por distribuciones de tipo fase.

Definición

Considérese un proceso de Márkov de tiempo continuo con m+1 estados, donde m ≥ 1 tal que los estados 1,...m sean estados transitorios y el estado 0 sea un estado absorbente. Y sea ${\displaystyle \scriptstyle \alpha _{i}}$  las probabilidad inicial de empezar en el estado ${\displaystyle \scriptstyle i\in \{0,1,\dots ,m\}}$  , cualquier de los m+1 estados, por lo que se considera el covector o vector fila ${\displaystyle \scriptstyle {\boldsymbol {\alpha }}=(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n})}$ . Entonces la distribución continua de tipo fase asociada al proceso anterior es la distribución de tiempos en el anterior proceso hasta que un cierto estado es absorbido, y por tanto el estado del sistema acaba en el estado absorbente. Este proceso puede ser escrito con la ayuda de la matriz de tasa de cambio del proceso como:

${\displaystyle \mathbf {Q} =\left[{\begin{matrix}0&\mathbf {0} \\{\boldsymbol {\eta }}&\mathbf {T} \\\end{matrix}}\right],}$ 

donde ${\displaystyle \scriptstyle \mathbf {T} }$  es una matriz m × m (que usualmente se considerará invertible) y ${\displaystyle \scriptstyle {\boldsymbol {\eta }}=-\mathbf {T} \cdot \mathbf {1} }$  (aquí ${\displaystyle \scriptstyle \mathbf {1} =(1,\dots ,1)}$  representa un vector columna con todas sus n componentes iguales a 1).

Referencias

1. Harchol-Balter, Mor (1 de enero de 2013). Real-World Workloads: High Variability and Heavy Tails. pp. 347-348. ISBN 9781139226424. doi:10.1017/cbo9781139226424.026. Consultado el 8 de agosto de 2016. 

Bibliografía

• M. F. Neuts. Matrix-Geometric Solutions in Stochastic Models: an Algorithmic Approach, Chapter 2: Probability Distributions of Phase Type; Dover Publications Inc., 1981.
• G. Latouche, V. Ramaswami. Introduction to Matrix Analytic Methods in Stochastic Modelling, 1st edition. Chapter 2: PH Distributions; ASA SIAM, 1999.
• C. A. O'Cinneide (1990). Characterization of phase-type distributions. Communications in Statistics: Stochastic Models, 6(1), 1-57.
• C. A. O'Cinneide (1999). Phase-type distribution: open problems and a few properties, Communication in Statistic: Stochastic Models, 15(4), 731-757.

•   Datos: Q7180911