Distribución T² de Hotelling

En estadística la distribución T² (T-cuadrado) de Hotelling es importante porque se presenta como la distribución de un conjunto de estadísticas que son una generalización natural de las estadísticas subayacentes distribución t de Student. En particular, la distribución se presenta en estadísticas multivariadas en pruebas de diferencias entre las medias (multivariadas) de diferentes poblaciones, donde las pruebas para problemas univariados usarían la Prueba t. Es proporcional a la distribución F.

La distribución recibe su nombre de Harold Hotelling, quien la desarrollo^[1]​ como una generalización de la distribución t de Student.

Definición

Si el vector ${\displaystyle d}$  tiene distribución normal multivariada con media cero y matriz de covarianza unitaria ${\displaystyle N({\boldsymbol {0}}_{p},{\boldsymbol {I}}_{p,p})}$  y ${\displaystyle M}$  es una matriz de tamaño ${\displaystyle p\times p}$  con matriz unitaria escalada y ${\displaystyle m}$  los grados de libertad con distribución de Wishart ${\displaystyle W({\boldsymbol {I}}_{p,p},m)}$  entonces la forma cuadrática ${\displaystyle X}$  tiene distribución de Hotelling con parámetros ${\displaystyle p}$  y ${\displaystyle m}$ :

${\displaystyle X=md^{T}M^{-1}d\sim T^{2}(p,m)}$ 

Si la variable aleatoria ${\displaystyle X}$  tiene distribución T-cuadrado de Hotelling con parámetros ${\displaystyle p}$  y ${\displaystyle m}$ , ${\displaystyle X\sim T_{p,m}^{2}}$ , entonces

${\displaystyle {\frac {m-p+1}{pm}}X\sim F_{p,m-p+1}}$ 

donde ${\displaystyle F_{p,m-p+1}}$  es la distribución F con parámetros ${\displaystyle {\ce {p}}}$  y ${\displaystyle m-p+1}$ .

Estadística T-cuadrado de Hotelling

La estadística T-cuadrado de Hotelling es una generalización de la estadística t de Student que se usa en las pruebas de hipótesis multivariadas, y se define como sigue:^[1]​

Sea ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{p}({\boldsymbol {\mu }},{\mathbf {\Sigma } })}$ , que denota una distribución normal p-variada con vector de medias ${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}}$  y covarianza ${\displaystyle {\mathbf {\Sigma } }}$ . Sean

${\displaystyle {\mathbf {x} }_{1},\dots ,{\mathbf {x} }_{n}\sim {\mathcal {N}}_{p}({\boldsymbol {\mu }},{\mathbf {\Sigma } })}$ 

${\displaystyle n}$  variables aleatorias independientes, las cuales pueden representarse como un vector columna de orden ${\displaystyle p\times 1}$  de números reales. Defínase

${\displaystyle {\overline {\mathbf {x} }}={\frac {\mathbf {x} _{1}+\cdots +\mathbf {x} _{n}}{n}}}$ 

como la media muestral. Puede demostrarse que

${\displaystyle n({\overline {\mathbf {x} }}-{\boldsymbol {\mu }})'{\mathbf {\Sigma } }^{-1}({\overline {\mathbf {x} }}-{\boldsymbol {\mathbf {\mu } }})\sim \chi _{p}^{2},}$ 

donde ${\displaystyle \chi _{p}^{2}}$  es una distribución ji-cuadrado con p grados de libertad. Para demostrar eso se usa el hecho que ${\displaystyle {\overline {\mathbf {x} }}\sim {\mathcal {N}}_{p}({\boldsymbol {\mu }},{\mathbf {\Sigma } }/n)}$  y entonces, al derivar la función característica de la variable aleatoria ${\displaystyle \mathbf {y} =n({\overline {\mathbf {x} }}-{\boldsymbol {\mu }})'{\mathbf {\Sigma } }^{-1}({\overline {\mathbf {x} }}-{\boldsymbol {\mathbf {\mu } }})}$ 

$${\displaystyle {\begin{aligned}\phi _{\mathbf {y} }(\theta )&=\operatorname {E} e^{i\theta \mathbf {y} }\\&=\operatorname {E} e^{i\theta n({\overline {\mathbf {x} }}-{\boldsymbol {\mu }})'{\mathbf {\Sigma } }^{-1}({\overline {\mathbf {x} }}-{\boldsymbol {\mathbf {\mu } }})}\\&=\int e^{i\theta n({\overline {\mathbf {x} }}-{\boldsymbol {\mu }})'{\mathbf {\Sigma } }^{-1}({\overline {\mathbf {x} }}-{\boldsymbol {\mathbf {\mu } }})}(2\pi )^{-{\frac {p}{2}}}|{\boldsymbol {\Sigma }}/n|^{-{\frac {1}{2}}}\,e^{-{\frac {1}{2}}n({\overline {\mathbf {x} }}-{\boldsymbol {\mu }})'{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}({\overline {\mathbf {x} }}-{\boldsymbol {\mu }})}\,dx_{1}...dx_{p}\\&=\int (2\pi )^{-{\frac {p}{2}}}|{\boldsymbol {\Sigma }}/n|^{-{\frac {1}{2}}}\,e^{-{\frac {1}{2}}n({\overline {\mathbf {x} }}-{\boldsymbol {\mu }})'({\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}-2i\theta {\boldsymbol {\Sigma }}^{-1})({\overline {\mathbf {x} }}-{\boldsymbol {\mu }})}\,dx_{1}...dx_{p}\\&=|({\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}-2i\theta {\boldsymbol {\Sigma }}^{-1})^{-1}/n|^{\frac {1}{2}}|{\boldsymbol {\Sigma }}/n|^{-{\frac {1}{2}}}\int (2\pi )^{-{\frac {p}{2}}}|({\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}-2i\theta {\boldsymbol {\Sigma }}^{-1})^{-1}/n|^{-{\frac {1}{2}}}\,e^{-{\frac {1}{2}}n({\overline {\mathbf {x} }}-{\boldsymbol {\mu }})'({\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}-2i\theta {\boldsymbol {\Sigma }}^{-1})({\overline {\mathbf {x} }}-{\boldsymbol {\mu }})}\,dx_{1}...dx_{p}\\&=|(\mathbf {I} _{p}-2i\theta \mathbf {I} _{p})|^{-{\frac {1}{2}}}\\&=(1-2i\theta )^{-{\frac {p}{2}}}\end{aligned}}}$$

 

Sin embargo, ${\displaystyle {\mathbf {\Sigma } }}$  es por lo general desconocida y se busca hacer una prueba de hipótesis sobre el vector de medias ${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}}$ .

Defínase

${\displaystyle {\mathbf {W} }={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}(\mathbf {x} _{i}-{\overline {\mathbf {x} }})(\mathbf {x} _{i}-{\overline {\mathbf {x} }})'}$ 

como la covarianza muestral. La traspuesta se ha denotado con un apóstrofo. Se demuestra que ${\displaystyle \mathbf {W} }$  es una matriz definida positiva y ${\displaystyle (n-1)\mathbf {W} }$  sigue una distribución Wishart p-variada con n−1 grados de libertad.^[2]​ La estadística T-cuadrado de Hotelling se define entonces como

${\displaystyle t^{2}=n({\overline {\mathbf {x} }}-{\boldsymbol {\mu }})'{\mathbf {W} }^{-1}({\overline {\mathbf {x} }}-{\boldsymbol {\mathbf {\mu } }})}$ 

porque se demuestra que ^{[cita requerida]}

${\displaystyle t^{2}\sim T_{p,n-1}^{2}}$ 

es decir

${\displaystyle {\frac {n-p}{p(n-1)}}t^{2}\sim F_{p,n-p},}$ 

donde ${\displaystyle F_{p,n-p}}$  es una distribución ${\displaystyle F}$  con parámetros ${\displaystyle p}$  y ${\displaystyle n-p}$ . Para calcular un p-valor, multiplique la estadística t² y la constante anterior y use la distribución ${\displaystyle F}$ .

Estadística T-cuadrado de Hotelling para dos muestras

Si ${\displaystyle {\mathbf {x} }_{1},\dots ,{\mathbf {x} }_{n_{x}}\sim N_{p}({\boldsymbol {\mu }},{\mathbf {V} })}$  y ${\displaystyle {\mathbf {y} }_{1},\dots ,{\mathbf {y} }_{n_{y}}\sim N_{p}({\boldsymbol {\mu }},{\mathbf {V} })}$ , con the samples independently drawn from two independent multivariate normal distributions con la misma media y covarianza, y definimos

${\displaystyle {\overline {\mathbf {x} }}={\frac {1}{n_{x}}}\sum _{i=1}^{n_{x}}\mathbf {x} _{i}\qquad {\overline {\mathbf {y} }}={\frac {1}{n_{y}}}\sum _{i=1}^{n_{y}}\mathbf {y} _{i}}$ 

como las medias muestrales, y

${\displaystyle {\mathbf {W} }={\frac {\sum _{i=1}^{n_{x}}(\mathbf {x} _{i}-{\overline {\mathbf {x} }})(\mathbf {x} _{i}-{\overline {\mathbf {x} }})'+\sum _{i=1}^{n_{y}}(\mathbf {y} _{i}-{\overline {\mathbf {y} }})(\mathbf {y} _{i}-{\overline {\mathbf {y} }})'}{n_{x}+n_{y}-2}}}$ 

como el estinador de la matriz de covarianza pooled insesgado the unbiased pooled covariance matrix estimate, then Hotelling's two-sample T-squared statistic is

${\displaystyle t^{2}={\frac {n_{x}n_{y}}{n_{x}+n_{y}}}({\overline {\mathbf {x} }}-{\overline {\mathbf {y} }})'{\mathbf {W} }^{-1}({\overline {\mathbf {x} }}-{\overline {\mathbf {y} }})\sim T^{2}(p,n_{x}+n_{y}-2)}$ 

and it can be related to the F-distribution by^[2]​

${\displaystyle {\frac {n_{x}+n_{y}-p-1}{(n_{x}+n_{y}-2)p}}t^{2}\sim F(p,n_{x}+n_{y}-1-p).}$ 

The non-null distribution of this statistic is the noncentral F-distribution (the ratio of a non-central Chi-squared random variable and an independent central Chi-squared random variable)

${\displaystyle {\frac {n_{x}+n_{y}-p-1}{(n_{x}+n_{y}-2)p}}t^{2}\sim F(p,n_{x}+n_{y}-1-p;\delta ),}$ 

with

${\displaystyle \delta ={\frac {n_{x}n_{y}}{n_{x}+n_{y}}}{\boldsymbol {\nu }}'\mathbf {V} ^{-1}{\boldsymbol {\nu }},}$ 

where ${\displaystyle {\boldsymbol {\nu }}}$  is the difference vector between the population means.

Véase también

• Student's t-test in univariate statistics
• Student's t-distribution in univariate probability theory
• Multivariate Student distribution.
• F-distribution (commonly tabulated or available in software libraries, and hence used for testing the T-squared statistic using the relationship given above)
• Wilks' lambda distribution (in multivariate statistics Wilks's Λ is to Hotelling's T² as Snedecor's F is to Student's t in univariate statistics).

Referencias

1. Hotelling, H. (1931). «The generalization of Student's ratio». Annals of Mathematical Statistics 2 (3): 360-378. doi:10.1214/aoms/1177732979. 
2. K.V. Mardia, J.T. Kent, and J.M. Bibby (1979) Multivariate Analysis, Academic Press.

Enlaces externos

• Plantilla:SpringerEOM

Plantilla:ProbDistributions Plantilla:Common univariate probability distributions

•   Datos: Q1393230