Matriz transpuesta

Sea ${\displaystyle A}$ una matriz con ${\displaystyle m}$ filas y ${\displaystyle n}$ columnas. La matriz traspuesta, denotada con ${\displaystyle A^{t}}$.^[1]​^[2]​

La traspuesta A^T de una matriz A puede ser obtenida reflejando los elementos a lo largo de su diagonal. Repitiendo el proceso en la matriz traspuesta devuelve los elementos a su posición original. Así, la traspuesta de una traspuesta es la matriz original, (A^T)^T = A.

Está dada por:

${\displaystyle (A^{t})_{ij}=A_{ji},\ 1\leq i\leq n,\ 1\leq j\leq m}$^[3]​

En donde el elemento ${\displaystyle a_{ji}}$ de la matriz original ${\displaystyle A}$ se convertirá en el elemento ${\displaystyle a_{ij}}$ de la matriz traspuesta ${\displaystyle A^{t}}$.

Ejemplos

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\e&f\\\end{bmatrix}}^{t}={\begin{bmatrix}a&c&e\\b&d&f\\\end{bmatrix}}}$ 

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\\3&4\\5&6\\\end{bmatrix}}^{t}={\begin{bmatrix}1&3&5\\2&4&6\end{bmatrix}}}$ 

Otro ejemplo un poco más grande es el siguiente:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&0&4\\1&0&4\\0&1&0\\0&3&2\\0&2&3\\0&3&4\\3&3&1\end{bmatrix}}^{t}\quad =\quad {\begin{bmatrix}0&1&0&0&0&0&3\\0&0&1&3&2&3&3\\4&4&0&2&3&4&1\end{bmatrix}}}$ 

Propiedades

Involutiva

• Para toda matriz ${\displaystyle A}$ ,

${\displaystyle (A^{t})^{t}=A\,}$ 

Demostración

Se recurre a la definición de trasposición elemento a elemento, sean aij dichos elementos, denotando por A = (aij)ij a la matriz, se tiene ${\displaystyle (A^{t})^{t}=\left(\left(a_{ij}\right)_{ij}^{t}\right)^{t}=\left(\left(a_{ji}\right)_{ij}\right)^{t}=\left(a_{ij}\right)_{ij}=A}$  ∎

Distributiva

• Sean A y B matrices con elementos en un anillo ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$  y sea ${\displaystyle c\in {\mathcal {A}}}$ :

${\displaystyle (A+B)^{t}=A^{t}+B^{t}\,}$ 

Demostración

Denotando por A = (aij)ij, B = (bij)ij y A+B = (cij)ij, donde cij = aij+bij, se tiene ${\displaystyle (A+B)^{t}=\left(c_{ij}\right)_{ij}^{t}=\left(c_{ji}\right)_{ij}=\left(a_{ji}+b_{ji}\right)_{ij}=\left(a_{ji}\right)_{ij}+\left(b_{ji}\right)_{ij}=A^{t}+B^{t}}$  ∎

Lineal

${\displaystyle (c\,A)^{t}=c\,A^{t}}$ 

Demostración

Se recurre a la definición de producto por escalar como operación externa ${\displaystyle cA=c\left(a_{ij}\right)_{ij}=\left(ca_{ij}\right)_{ij}}$  sea dij = c aij, con esta notación se tiene c A = (dij)ij, por trasposición queda ${\displaystyle (cA)^{t}=\left(d_{ij}\right)_{ij}^{t}=\left(d_{ji}\right)_{ij}=\left(ca_{ji}\right)_{ij}=cA^{t}}$ ∎

• Para el producto usual de las matrices ${\displaystyle A}$  y ${\displaystyle B}$ ,

${\displaystyle (AB)^{t}=B^{t}A^{t}\,}$ 

Demostración

Se recurre a la definición de producto matricial, sean A = (aij)ij, B = (bij)ij y A B = (cij)ij entonces por definición ${\displaystyle c_{ij}=\sum _{k=1}^{r}a_{ik}b_{kj}}$  por trasposición queda ${\displaystyle c_{ji}=\sum _{k=1}^{r}a_{jk}b_{ki}=\sum _{k=1}^{r}b_{ki}a_{jk}}$  que coincide con la definición de producto para B^t A^t∎

• Si ${\displaystyle A}$  es una matriz cuadrada cuyas entradas son números reales, entonces

${\displaystyle A^{t}A\,}$ 

es semidefinida positiva.

Demostración

Sean A una matriz de tamaño m × n y x un vector columna de n componentes perteneciente a un espacio normado, con ${\displaystyle \scriptstyle \|\cdot \|}$  denotando la norma euclídea. ${\displaystyle x^{t}A^{t}Ax=(Ax)^{t}Ax=\|Ax\|^{2}}$  de las propiedades de la norma se deduce x^t A^t A x ≥ 0 para todo x, luego A^t A es semidefinida positiva. ∎

Definiciones asociadas

Una matriz cuadrada ${\displaystyle A}$  es simétrica si coincide con su traspuesta:

${\displaystyle A^{t}=A\,}$ 

Una matriz cuadrada ${\displaystyle A}$  es antisimétrica si su traspuesta coincide con su inverso aditivo.

${\displaystyle A^{t}=-A\,}$ 

Si los elementos de la matriz ${\displaystyle A}$  son números complejos y su traspuesta coincide con su conjugada, se dice que la matriz es hermítica.

${\displaystyle A^{t}={\bar {A}},\quad A=({\bar {A}})^{t}=A^{\dagger }}$ 

y antihermítica si

${\displaystyle A^{t}=-{\bar {A}}}$ 

Vale la pena observar que si una matriz es hermítica (matriz simétrica en el caso de matriz real) entonces es diagonalizable y sus autovalores son reales. (El recíproco es falso).

Véase también

• La definición de matriz traspuesta se usa en la definición de Matriz ortogonal.

• Escítala : Instrumento antiguo para cifrar mensajes basado en la trasposición de matrices.

Referencias

1. García Merayo, Félix (1995). «7.5». Lecciones prácticas de cálculo numérico (1 edición). Universidad Pontifica Comillas. p. 96. ISBN 9788487840685. 
2. Kurmyshev, Evguenii (2003). «2.2.3». Fundamentos de métodos matemáticos para física e ingeniería (1 edición). LIMUSA SA. p. 35. ISBN 9789681863661. 
3. «MATRIZ TRASPUESTA». p. 2. 

Enlaces externos

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), «Transposed Matrix», Encyclopaedia of Mathematics (en inglés), Springer, ISBN 978-1556080104 .

•   Datos: Q223683