Círculo ortocentroidal

En geometría, el círculo ortocentroidal de un triángulo no equilátero es el círculo cuyo contorno pasa por el ortocentro del triángulo y por su centroide, situados en los extremos opuestos de un diámetro. Este diámetro también contiene el centro de nueve puntos del triángulo y pertenece a la recta de Euler, que también contiene el circuncentro, situado fuera del círculo ortocentroidal.

Un triángulo (negro), sus alturas (azul), su centroide (rojo), y su círculo ortocentroidal (amarillo)

Guinand demostró en 1984 que el incentro del triángulo debe estar en el interior del círculo ortocentroidal, pero no coincidiendo con el centro de nueve puntos; es decir, debe caer en el "disco ortocentroidal" abierto perforado en el centro de nueve puntos.^[1]​^[2]​^[3]​^[4]​ ^[5]​^{: pp. 451–452} El incentro puede ser cualquier punto del disco, dependiendo del triángulo específico que tenga ese círculo ortocentroidal particular.^[3]​

Además,^[2]​ el punto de Fermat, el punto de Gergonne y el centro simediano están en el disco ortocentroidal abierto perforado en su propio centro (y podrían estar en cualquier punto), mientras que el segundo punto de Fermat está en el exterior del círculo ortocentroidal (y también podría estar en cualquier punto). El conjunto de localizaciones potenciales de uno u otro de los puntos de Brocard también es el disco ortocentroidal abierto.^[6]​

El cuadrado del diámetro del círculo ortocentroidal es^[7]​^: p.102 ${\displaystyle D^{2}-{\tfrac {4}{9}}(a^{2}+b^{2}+c^{2}),}$ donde a, b y c son las longitudes de los lados del triángulo y D es el diámetro de su circunferencia circunscrita.

Referencias

1. Guinand, Andrew P. (1984), «Euler lines, tritangent centers, and their triangles», American Mathematical Monthly 91 (5): 290-300, JSTOR 2322671, doi:10.2307/2322671 ..
2. Bradley, Christopher J.; Smith, Geoff C. (2006), «The locations of triangle centers», Forum Geometricorum 6: 57-70 ..
3. Stern, Joseph (2007), «Euler’s triangle determination problem», Forum Geometricorum 7: 1-9 ..
4. Franzsen, William N. (2011), «The distance from the incenter to the Euler line», Forum Geometricorum 11: 231-236 ..
5. Leversha, Gerry; Smith, G. C. (November 2007), «Euler and triangle geometry», Mathematical Gazette 91 (522): 436-452, JSTOR 40378417 ..
6. Bradley, Christopher J.; Smith, Geoff C. (2006), «The locations of the Brocard points», Forum Geometricorum 6: 71-77 ..
7. Altshiller-Court, Nathan, College Geometry, Dover Publications, 2007 (orig. Barnes & Noble 1952).

•   Datos: Q21500695
•   Multimedia: Orthocentroidal circle / Q21500695