Derivada parcial

En matemáticas, la derivada parcial de una función de varias variables es la derivada con respecto a cada una de esas variables manteniendo las otras como constantes. Las derivadas parciales son usadas en cálculo vectorial y geometría diferencial.

La derivada parcial de una función ${\displaystyle f(x,y,\dots )}$ con respecto a la variable ${\displaystyle x}$ se puede denotar de distintas manera:

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial x}}f,D_{1}f,\partial _{x}f,f_{x}^{\prime }{\text{ o }}f_{x}.}$

Donde ${\displaystyle \partial }$ es la letra 'd' redondeada, conocida como la 'd de Jacobi'. También se puede representar como ${\displaystyle D_{1}f(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})}$ que es la primera derivada respecto a la variable ${\displaystyle x_{1}}$ y así sucesivamente.^[1]​

Cuando una magnitud ${\displaystyle A}$ es función de diversas variables (${\displaystyle x,y,z,...}$), es decir:

${\displaystyle A=f\left(x,y,z,...\right)}$

Al realizar esta derivada obtenemos la expresión que nos permite calcular la pendiente de la recta tangente a dicha función ${\displaystyle A}$ en un punto dado. Esta recta es paralela al plano formado por el eje de la incógnita respecto a la cual se ha hecho la derivada con el eje que representa los valores de la función.

Analíticamente el gradiente de una función es la máxima pendiente de dicha función en la dirección que se elija. Mientras visto desde el álgebra lineal, la dirección del gradiente nos indica hacia donde hay mayor variación en la función.

Introducción

Suponga que ${\displaystyle f}$  es una función de más de una variable, esto es, suponga que ${\displaystyle f}$  está dada por

${\displaystyle z=f(x,y)=x^{2}+xy+y^{2}}$ 

La gráfica de esta función define una superficie en el espacio euclidiano. Para cada punto en esta superficie, hay un número infinito de líneas tangentes.

 

La gráfica de ${\displaystyle z=x^{2}+xy+y^{2}}$ .

La derivación parcial es el acto de elegir una de esas líneas y encontrar su pendiente. Generalmente, las líneas que más interesan son aquellas que son paralelas al plano ${\displaystyle xz}$  y aquellas que son paralelas al plano ${\displaystyle yz}$ .

 

Parte de la gráfica en el plano ${\displaystyle xz}$ , en ${\displaystyle y=1}$ . La pendiente de la recta tangente es ${\displaystyle 3}$ .

Para encontrar la pendiente de la línea tangente de la función en ${\displaystyle P(1,1)}$  que es paralela al plano ${\displaystyle xz}$ , consideramos a la variable ${\displaystyle y}$  como constante. La gráfica de la función y este plano se muestran a la derecha. A la izquierda, vemos cómo se ve la función en el plano ${\displaystyle y=1}$ . Encontremos la pendiente de ${\displaystyle f}$  en el punto ${\displaystyle (x,y)}$  derivando la función ${\displaystyle f}$  considerando a ${\displaystyle y}$  como constante:

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}=2x+y}$ 

Por lo que en el punto ${\displaystyle (1,1)}$  (reemplazando en la derivada) la pendiente es ${\displaystyle 3}$ . Esto es, la derivada parcial de ${\displaystyle f}$  con respecto a ${\displaystyle x}$  en el punto ${\displaystyle (1,1)}$  es ${\displaystyle 3}$ , como se muestra en la gráfica.

Definición

Definición formal

Análogamente a la derivada ordinaria (función de una variable real), la derivada parcial está definida como un límite.

Sea ${\displaystyle U}$  es un subconjunto abierto de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$  y ${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} }$  una función, la derivada parcial de ${\displaystyle f}$  en el punto ${\displaystyle \mathbf {a} =(a_{1},\dots ,a_{n})\in U}$  con respecto a la ${\displaystyle i}$ -ésima variable ${\displaystyle x_{i}}$  se define como

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{i}}}f(\mathbf {a} )=\lim _{h\rightarrow 0}{f(a_{1},\dots ,a_{i-1},a_{i}+h,a_{i+1},\dots ,a_{n})-f(a_{1},\dots ,a_{n}) \over h}}$ 

si existe el límite.

Incluso si todas las derivadas parciales existen en el punto ${\displaystyle \mathbf {a} }$ , la función no necesariamente es continua en ese punto. Sin embargo, si todas las derivadas parciales existen en un entorno de ${\displaystyle \mathbf {a} }$  y son continuas, entonces la función ${\displaystyle f}$  es totalmente diferenciable en ese entorno y la derivada total es continua. En este caso, se dice que ${\displaystyle f}$  es una función ${\displaystyle C^{1}}$ .

La derivada parcial

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}}$ 

puede ser vista como otra función definida sobre ${\displaystyle U}$ y puede ser de nuevo derivada de forma parcial. Si todas las derivadas parciales mixtas de segundo orden son continuas en un punto, entonces ${\displaystyle f}$  es una función ${\displaystyle C^{2}}$  en ese punto; en tal caso, las derivadas parciales pueden ser intercambiadas por el teorema de Clairaut:

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{j}\partial x_{i}}}}$ 

Ejemplo

 

El volumen de un cono depende de la altura (h) y el radio (r)

Geometría

El volumen ${\displaystyle V}$  de un cono que depende de la altura del cono ${\displaystyle h}$  y su radio ${\displaystyle r}$ , está dado por la fórmula

${\displaystyle V(r,h)={\frac {\pi r^{2}h}{3}}}$ 

Las derivadas parciales de ${\displaystyle V}$  respecto a ${\displaystyle r}$  y ${\displaystyle h}$  son

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial V}{\partial r}}&={\frac {2\pi rh}{3}}\\{\frac {\partial V}{\partial h}}&={\frac {\pi r^{2}}{3}}\end{aligned}}}$ 

respectivamente, la primera de ellas representa la tasa a la que el volumen del cono cambia si el radio varía y su altura se mantiene constante, la segunda de ellas representa la tasa a la que el volumen cambia si la altura varía y su radio se mantiene constante.

La derivada total de ${\displaystyle V}$  con respecto a ${\displaystyle r}$  y ${\displaystyle h}$  son

${\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial r}}=\underbrace {\frac {2\pi rh}{3}} _{\frac {\partial V}{\partial r}}+\underbrace {\frac {\pi r^{2}}{3}} _{\frac {\partial V}{\partial h}}{\frac {dh}{dr}}}$ 

y

${\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial h}}=\underbrace {\frac {\pi r^{2}}{3}} _{\frac {\partial V}{\partial h}}+\underbrace {\frac {2\pi rh}{3}} _{\frac {\partial V}{\partial r}}{\frac {dr}{dh}}}$ 

respectivamente.

Notación

Considere una función

${\displaystyle {\begin{aligned}f:\mathbb {R} ^{3}&\to \mathbb {R} \\(x,y,z)&\mapsto f(x,y,z)\end{aligned}}}$ 

La derivada parcial de primer orden respecto a la variable ${\displaystyle x}$  suelen denotarse por

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}=f_{x}=\partial _{x}f}$ 

La derivadas parcial de segundo orden suele denotarse por

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}=f_{xx}=\partial _{xx}f=\partial _{x}^{2}f}$ 

Las derivadas cruzadas de segundo orden por

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}}={\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)=f_{xy}=\partial _{yx}f=\partial _{y}\partial _{x}f}$ 

Termodinámica

En termodinámica y otras áreas de la física se emplea la siguiente notación:

${\displaystyle \left({\frac {\partial Y}{\partial X}}\right)_{Z}}$ 

que significa que ${\displaystyle \exists f_{XZ}(\cdot ):\ Y=f_{XZ}(X,Z)\,}$  y entonces:

${\displaystyle \left({\frac {\partial Y}{\partial X}}\right)_{Z}:={\frac {\partial f_{XZ}(X,Z)}{\partial X}}}$ 

Esta notación se usa porque frecuentemente una magnitud puede expresarse como función de diferentes variables por lo que en general:

${\displaystyle \left({\frac {\partial Y}{\partial X}}\right)_{Z_{1}}\neq \left({\frac {\partial Y}{\partial X}}\right)_{Z_{2}}}$ 

Ya que la forma precisa de las funciones ${\displaystyle f_{XZ_{1}}(\cdot ,\cdot )}$  y ${\displaystyle f_{XZ_{2}}(\cdot ,\cdot )}$  es diferente, es decir, se trata de funciones diferentes.

Derivadas parciales de orden superior

A su vez, la derivada parcial ${\displaystyle \partial _{x_{i}}f}$  puede verse como otra función definida en U y derivarse parcialmente. Si todas sus derivadas parciales existen y son continuas, llamamos a f una función C²; en este caso, las derivadas parciales (llamadas parciales) pueden ser intercambiadas por el teorema de Clairaut también conocido como teorema de Schwarz.

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{j}\,\partial x_{i}}}.}$ 

En ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ , si se cumple lo ya dicho, se asegura que:

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\,\partial y}}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial x}}=f_{xy}=f_{yx}}$ 

Véase también

• Derivada
• Derivada total
• Derivada de Lie
• Derivada covariante
• Jacobiano

Referencias

1. Serge Lang. Cálculo II. ISBN 968-6630-12-0

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. «Partial Derivative». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 

•   Datos: Q186475