En matemáticas y más concretamente en cálculo diferencial el teorema de Clairaut, también conocido como teorema de Schwarz o teorema de la igualdad de las derivadas cruzadas es una condición suficiente de la igualdad de las derivadas parcialescruzadas de una función de varias variables. El teorema establece que si las derivadas parciales cruzadas existen y son continuas, entonces son iguales.
Teorema
Caso general
Sea con un conjunto abierto tal que existen las segundas derivadas cruzadas y son continuas en entonces para cualquier punto se cumple que
En dos variables
Sea una función de dos variables definida en un conjunto abierto , si existen las segundas derivadas cruzadas y son continuas en , esto es, entonces estas son iguales, es decir:
.
Demostración
Sea
.
Y sean , reales tales que . Lo cual es posible, ya que es un abierto de .
teorema, clairaut, matemáticas, más, concretamente, cálculo, diferencial, teorema, clairaut, también, conocido, como, teorema, schwarz, teorema, igualdad, derivadas, cruzadas, condición, suficiente, igualdad, derivadas, parciales, cruzadas, función, varias, va. En matematicas y mas concretamente en calculo diferencial el teorema de Clairaut tambien conocido como teorema de Schwarz o teorema de la igualdad de las derivadas cruzadas es una condicion suficiente de la igualdad de las derivadas parciales cruzadas de una funcion de varias variables El teorema establece que si las derivadas parciales cruzadas existen y son continuas entonces son iguales Indice 1 Teorema 1 1 Caso general 1 2 En dos variables 1 2 1 Demostracion 2 Vease tambienTeorema EditarCaso general Editar Sea f A R displaystyle f A to mathbb R con A R n displaystyle A subseteq mathbb R n un conjunto abierto tal que existen las segundas derivadas cruzadas y son continuas en A displaystyle A entonces para cualquier punto a 1 a 2 a n A displaystyle a 1 a 2 dots a n in A se cumple que 2 f x i x j a 1 a n 2 f x j x i a 1 a n displaystyle frac partial 2 f partial x i partial x j a 1 dots a n frac partial 2 f partial x j partial x i a 1 dots a n En dos variables Editar Sea f W R displaystyle f Omega to mathbb R una funcion de dos variables definida en un conjunto abierto W R 2 displaystyle Omega subseteq mathbb R 2 si existen las segundas derivadas cruzadas y son continuas en W displaystyle Omega esto es f C 2 W displaystyle f in mathcal C 2 Omega entonces estas son iguales es decir 2 f x y 2 f y x displaystyle frac partial 2 f partial x partial y frac partial 2 f partial y partial x Demostracion Editar Sea p x 0 y 0 W displaystyle p x 0 y 0 in Omega Y sean e displaystyle varepsilon d gt 0 displaystyle delta gt 0 reales tales que x 0 e x 0 e y 0 d y 0 d W displaystyle x 0 varepsilon x 0 varepsilon times y 0 delta y 0 delta subset Omega Lo cual es posible ya que W displaystyle Omega es un abierto de R 2 displaystyle mathbb R 2 Se definen dos funciones F displaystyle F y G displaystyle G F e e R R displaystyle F varepsilon varepsilon subset mathbb R longrightarrow mathbb R G d d R R displaystyle G delta delta subset mathbb R longrightarrow mathbb R de modo que F t f x 0 t y 0 s f x 0 t y 0 t e e displaystyle F t f x 0 t y 0 s f x 0 t y 0 qquad forall t in varepsilon varepsilon G s f x 0 t y 0 s f x 0 y 0 s s d d displaystyle G s f x 0 t y 0 s f x 0 y 0 s qquad forall s in delta delta Aplicando dos veces el teorema de Lagrange F t F 0 t 0 F 3 1 t f x x 0 3 1 y 0 s f x x 0 3 1 y 0 displaystyle F t F 0 t 0 F xi 1 t left frac partial f partial x x 0 xi 1 y 0 s frac partial f partial x x 0 xi 1 y 0 right t s 2 f y x x 0 3 1 y 0 s 1 displaystyle ts frac partial 2 f partial y partial x x 0 xi 1 y 0 sigma 1 y analogamente G s G 0 s t 2 f x y x 0 3 2 y 0 s 2 displaystyle G s G 0 st frac partial 2 f partial x partial y x 0 xi 2 y 0 sigma 2 con 3 i 0 t displaystyle xi i in 0 t s i 0 s displaystyle sigma i in 0 s por comodidad de escritura pero sin perder generalidad se suponen t s gt 0 displaystyle t s gt 0 Luego haciendo tender t displaystyle t y s displaystyle s a 0 displaystyle 0 se logra la demostracion Vease tambien EditarMatriz hessiana Derivada parcial Datos Q1503239Obtenido de https es wikipedia org w index php title Teorema de Clairaut amp oldid 134330408, wikipedia, wiki, leyendo, leer, libro, biblioteca,