Derivada de Lie

En matemática, una derivada de Lie es una derivación en el álgebra de funciones diferenciables sobre una variedad diferenciable ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {M}}}$, cuya definición puede extenderse al álgebra tensorial de la variedad. Obtenemos entonces lo que en topología diferencial se denomina derivación tensorial: una aplicación ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} }$-lineal sobre el conjunto de tensores de tipo (r,s), que preserva el tipo tensorial y satisface la regla del producto de Leibniz y que conmuta con las contracciones.

Para definir la derivada de Lie sobre el conjunto de tensores de tipo (r,s) bastará con definir su acción sobre funciones y sobre campos de vectores: Así, si X es un campo diferenciable de vectores, se define la derivada de Lie con respecto a X como la única derivación tensorial tal que:^[1]​

• ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}f=X(f).}$ para toda función diferenciable f.
• ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}Y=[X,Y].}$ para todo campo diferenciable Y. Donde [,] es el corchete de Lie.

La derivada así definida satisfará automáticamente las propiedades citadas de una derivación tensorial:

• la regla del producto

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}(S\otimes T)=({\mathcal {L}}_{X}S)\otimes T+S\otimes ({\mathcal {L}}_{X}T).}$

• conmutará con las contracciones.

El espacio vectorial de todas las derivadas de Lie en M forma a su vez un álgebra de Lie infinito dimensional con respecto al corchete de Lie.

Aunque menos habitual, también se denota a la derivada de Lie de ${\displaystyle Y}$ respecto de un campo ${\displaystyle X}$ como ${\displaystyle X^{L}Y}$. Esta notación, en ocasiones más limpia que la anterior pues evita subíndices, proviene del profesor Juan Bautista Sancho Guimerá.

Derivada de Lie de campos tensoriales

En geometría diferencial, si tenemos un tensor diferenciable T de rango (p, q) (es decir una función lineal de secciones diferenciables, α, β, ... del T*M fibrado cotangente y X, Y,... del TM fibrado tangente,

T(α,β...,X,Y ,...)

Tales que para cualesquiera funciones diferenciables

f₁...,f_p...,f_p+q, T(f₁α,f₂β...,f_p+1X,f_p+2Y,...) = f₁f₂... f_p+1f_p+2... f_p+q T(α, β..., X, Y ,...)) y un campo vectorial (sección del fibrado tangente) A diferenciable, entonces la función lineal:

(£_AT)(α, β,..., X, Y,...) ≡ ∇_A T(α, β,..., X, Y,...) - ∇_{T(-,β...,X,Y,...)}A(α)-... + T(α, β...,∇_XA,Y,...)+...

es independiente de la conexión ∇ que se utiliza, mientras sea libre de torsión, y es, de hecho, un tensor.^[2]​

Este tensor se llama la derivada de Lie de T con respecto a A.

Véase también

• Álgebra de Witt
• Corchete de Lie. El corchete de Lie reproduce la acción de la derivada de Lie sobre campos de vectores.
• Vector de Killing

Referencias

1. O Neill Semiriemaniann geometry. Academic Press, 1983. ISBN 0-12-526740-1 (cap 2)
2. T. J. Willmore. The Definition of Lie Derivative. Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society (Series 2), Volume 12, Issue 01, Jun 1960, pp 27-29 doi: 10.1017/S0013091500025013 [1]

•   Datos: Q579267