Álgebra de conjuntos

En matemáticas, álgebra de conjuntos^[1]​^[2]​^[3]​ es el estudio de las operaciones básicas que pueden realizarse con conjuntos, como la unión, intersección y complementación.

Conjuntos

Artículo principal: Conjunto

Un conjunto es una colección de objetos considerada como un objeto en sí. Un conjunto está definido únicamente por los elementos que lo componen, y no por la manera en la que se lo representa.

Existe una serie de relaciones básicas entre conjuntos y sus elementos:

• Pertenencia. La relación relativa a conjuntos más básica es la relación de pertenencia. Dado un elemento x, éste puede o no pertenecer a un conjunto dado A. Esto se indica como:

${\displaystyle x\in A\quad \longrightarrow }$  x pertenece a A.

${\displaystyle x\notin A\quad \longrightarrow }$  x no pertenece a A.

• Igualdad. Dos conjuntos son iguales si y sólo si tienen los mismos elementos. Este principio, denominado principio de extensionalidad establece el hecho de que un conjunto queda definido únicamente por sus elementos

${\displaystyle A=B\quad \longrightarrow }$  A es igual a B.

${\displaystyle A\neq B\quad \longrightarrow }$  A no es igual a B.

• Inclusión. Dado un conjunto A, subcolección del conjunto B o igual a este, sus elementos son un subconjunto de B, y se indica como:

${\displaystyle A\subseteq B\quad \longrightarrow }$ A es un subconjunto de B.

${\displaystyle A\nsubseteq B\quad \longrightarrow }$  A no es subconjunto de B.

El conjunto vacío es el conjunto sin ningún elemento, y se denota por ∅ o por {}. El conjunto universal es el conjunto que contiene todos los elementos posibles, dentro del contexto considerado. Por ejemplo, si se estudian los números naturales, el conjunto universal es el conjunto de todos ellos, ℕ. De manera general, el conjunto universal se denota por U.

Ejemplos

• Cada número natural es elemento del conjunto ℕ = {1, 2, 3, ...} de los números naturales: 1 ∈ ℕ, 2 ∈ ℕ, etc. Cada número par es también un número natural, por lo que el conjunto P de los números pares, P = {2, 4, 6, ...}, es un subconjunto de ℕ: P ⊆ ℕ.
• Dado el conjunto de letras V = {o, i, e, u, a}, se cumple por ejemplo que a ∈ V o también i ∈ V. El conjunto de letras U = { vocales del español } contiene los mismos elementos que V, por lo que ambos conjuntos son iguales, V = U.

Operaciones con conjuntos

Operaciones con conjuntos

 

Unión

 

Intersección

 

Diferencia

 

Complemento

 

Diferencia simétrica

Las operaciones básicas del álgebra de conjuntos son:

• Unión. La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∪ B que contiene todos los elementos de A y de B.
• Intersección. La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∩ B que contiene todos los elementos comunes de A y B.
• Diferencia. La diferencia entre dos conjuntos A y B es el conjunto A \ B que contiene todos los elementos de A que no pertenecen a B.
• Diferencia simétrica. La diferencia simétrica entre dos conjuntos A y B es el conjunto que contiene los elementos de A y B que no son comunes.
• Complemento. El complemento de un conjunto A es el conjunto A^∁ que contiene todos los elementos que no pertenecen a A.
• Producto cartesiano. El producto cartesiano de dos conjuntos A y B es el conjunto A × B que contiene todos los pares ordenados (a, b) cuyo primer elemento pertenece a A y su segundo elemento pertenece a B.

Propiedades

Algunas de estas operaciones poseen propiedades similares a las operaciones con números naturales. Por ejemplo, la unión y la intersección son conmutativas y asociativas. El conjunto vacío es el elemento neutro de la unión, y el elemento absorbente de la intersección y el producto cartesiano. El conjunto universal es el elemento neutro de la intersección y el elemento absorbente de la unión.

Además, las operaciones de unión, intersección, diferencia y complemento son muy similares a las operaciones en un álgebra de Boole, así como a los conectores lógicos de la lógica proposicional.^[4]​

Véase también

• Teoría de conjuntos
• Teoría axiomática de conjuntos
• Álgebra de Boole
• Dinámica de sistemas

Referencias

1. Stanley A. Smith; Randall I. Charles (2000). «1». Algebra (Constantino Hernández García, trad.) (1 edición). Pearson Educación. p. 3. ISBN 968-444-358-7. 
2. Nachbin, Leopoldo (1980). «3». Introducción al álgebra (José Mª Isidro Gómez, trad.) (1 edición). Editorial Reverte. p. 6. ISBN 97-884-2915-099-5. 
3. Harold J. Larson (1978). «1.2». Introducción a la teoría de probabilidades (Sergio Fernandez Everest, trad.) (8 edición). Editorial Limusa. p. 16. ISBN 97-896-8180-730-6. 
4. Véase Barco Gómez, 2005, p. 21.

Bibliografía

• Barco Gómez, Carlos (2005). Álgebra Booleana. Aplicaciones tecnológicas. Universidad de Caldas. ISBN 9789588231389. 
• Larson, Harold J. (2002). «1. Teoría de conjuntos». Introducción a la teoría de probabilidades e inferencia estadística. Editorial Limusa. ISBN 9789681807306. 
• Nachbin, Leopoldo (1980). «1. Conjuntos y funciones». Introducción al álgebra. Reverté. ISBN 9788429150995. 
• Rivaud, J. (1981). «1. Conjuntos. Aplicaciones. Relaciones. Numerabilidad.». Ejercicios de álgebra. Reverté. ISBN 9788429151312. 

Enlaces externos

• Calculadora de conjuntos (enlace roto disponible en Internet Archive; véase el historial, la primera versión y la última).
•   Wikimedia Commons alberga una galería multimedia sobre Álgebra de conjuntos.

•   Datos: Q10565797