El movimiento browniano geométrico (GBM) (también conocido como movimiento browniano exponencial) es un modelo de amplio uso en finanzas y sirve para representar el precio de algunos bienes que fluctúan siguiendo los vaivenes de los mercados financieros, en particular, es utilizado en matemáticas financieras para modelar precios en el modelo de Black-Scholes.
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El movimiento browniano geometrico GBM tambien conocido como movimiento browniano exponencial es un modelo de amplio uso en finanzas y sirve para representar el precio de algunos bienes que fluctuan siguiendo los vaivenes de los mercados financieros en particular es utilizado en matematicas financieras para modelar precios en el modelo de Black Scholes Indice 1 Definicion 2 Propiedades 2 1 Funcion de densidad 2 2 Funcion de distribucion 2 3 Estadisticas 2 3 1 Media 2 3 2 Varianza 2 3 3 Covarianza 2 3 4 UNIQ postMath 00000015 QINU esimo momento 3 Vease tambien 4 ReferenciasDefinicion EditarSean m R displaystyle mu in mathbb R nbsp s gt 0 displaystyle sigma gt 0 nbsp y S 0 gt 0 displaystyle S 0 gt 0 nbsp se define el movimiento browniano geometrico como el proceso estocastico a tiempo continuo S t t 0 displaystyle S t t geq 0 nbsp que satisface la ecuacion diferencial estocastica d S t m S t d t s S t d W t displaystyle dS t mu S t dt sigma S t dW t nbsp y puede ser escrito como S t S 0 exp m s 2 2 t s W t t 0 displaystyle S t S 0 exp left left mu frac sigma 2 2 right t sigma W t right quad t geq 0 nbsp donde W t displaystyle W t nbsp es el movimiento Browniano estandar Para obtener la solucion de la ecuacion diferencial estocastica se requiere el uso del calculo de Ito Propiedades EditarFuncion de densidad Editar El movimiento Browniano geometrico dado por S t S 0 exp m s 2 2 t s W t t 0 displaystyle S t S 0 exp left left mu frac sigma 2 2 right t sigma W t right quad t geq 0 nbsp tiene una distribucion log normal con funcion de densidad dada por f S t s 1 s s 2 t p exp ln s ln S 0 m 1 2 s 2 t 2 2 s 2 t displaystyle f S t s frac 1 s sigma sqrt 2t pi exp left frac left ln s ln S 0 left mu frac 1 2 sigma 2 right t right 2 2 sigma 2 t right nbsp para s 0 displaystyle s in 0 infty nbsp Funcion de distribucion Editar La funcion de distribucion acumulada esta dada por F S t s F ln s ln S 0 m s 2 2 t s t displaystyle F S t s Phi left frac ln s ln S 0 left mu frac sigma 2 2 right t sigma sqrt t right nbsp para s 0 displaystyle s in 0 infty nbsp Estadisticas Editar Para hallar la media varianza y covarianza del movimiento browniano geometrico usaremos el hecho de que M S s exp m s 1 2 s 2 s 2 displaystyle M S s exp left mu s frac 1 2 sigma 2 s 2 right nbsp es la funcion generadora de momentos de una distribucion normal con parametros m displaystyle mu nbsp y s 2 displaystyle sigma 2 nbsp Media Editar La media del movimiento Browniano geometrico es E S t S 0 e m t displaystyle operatorname E S t S 0 e mu t nbsp pues E S t E S 0 exp m 1 2 s 2 t s W t S 0 exp m 1 2 s 2 t E e s W t S 0 exp m 1 2 s 2 t e t s 2 2 S 0 e m t displaystyle begin aligned operatorname E S t amp operatorname E left S 0 exp left left mu frac 1 2 sigma 2 right t sigma W t right right amp S 0 exp left left mu frac 1 2 sigma 2 right t right operatorname E left e sigma W t right amp S 0 exp left left mu frac 1 2 sigma 2 right t right e frac t sigma 2 2 amp S 0 e mu t end aligned nbsp Varianza Editar La varianza del movimiento Browniano geometrico es Var S t S 0 2 e 2 m t e s 2 t 1 displaystyle operatorname Var S t S 0 2 e 2 mu t left e sigma 2 t 1 right nbsp pues Var S t Var S 0 exp m 1 2 s 2 t s W t S 0 2 exp 2 m 1 2 s 2 t Var e s W t S 0 2 exp 2 m 1 2 s 2 t E exp 2 s W t E exp s W t 2 S 0 2 exp 2 m 1 2 s 2 t exp t 2 s 2 2 exp 2 t s 2 2 S 0 2 e 2 m t e s 2 t 1 displaystyle begin aligned operatorname Var S t amp operatorname Var left S 0 exp left left mu frac 1 2 sigma 2 right t sigma W t right right amp S 0 2 exp left 2 left mu frac 1 2 sigma 2 right t right operatorname Var left e sigma W t right amp S 0 2 exp left 2 left mu frac 1 2 sigma 2 right t right left operatorname E exp 2 sigma W t operatorname E exp sigma W t 2 right amp S 0 2 exp left 2 left mu frac 1 2 sigma 2 right t right left exp left frac t 2 sigma 2 2 right exp left frac 2t sigma 2 2 right right amp S 0 2 e 2 mu t left e sigma 2 t 1 right end aligned nbsp Covarianza Editar La covarianza del movimiento Browniano geometrico es Cov S t S s S 0 2 e 2 m s t e s 2 s 1 displaystyle operatorname Cov S t S s S 0 2 e 2 mu s t left e sigma 2 s 1 right nbsp n displaystyle n nbsp esimo momento Editar Para n N displaystyle n in mathbb N nbsp y t 0 displaystyle t in 0 infty nbsp el n displaystyle n nbsp esimo momento del proceso esta dado por E S t n S 0 exp n m s 2 2 n 2 n t displaystyle operatorname E S t n S 0 exp left left n mu frac sigma 2 2 n 2 n right t right nbsp Vease tambien EditarProceso estocastico Movimiento Browniano Proceso de Wiener Cadena de Markov Proceso de Poisson Ecuacion diferencial estocasticaReferencias Editar nbsp Datos Q1503307 nbsp Multimedia Brownian motion Q1503307 Obtenido de https es wikipedia org w index php title Movimiento browniano geometrico amp oldid 141213273, wikipedia, wiki, leyendo, leer, libro, biblioteca,