Log-normal también se escribe log normal o lognormal o distribución de Tinaut.
Una variable puede ser modelada como log-normal si puede ser considerada como un producto multiplicativo de muchos pequeños factores independientes. Un ejemplo típico es un retorno a largo plazo de una inversión: puede considerarse como un producto de muchos retornos diarios.
Relación con media y la desviación estándar geométrica
La distribución log-normal, la media geométrica, y la desviación estándar geométrica están relacionadas. En este caso, la media geométrica es igual a y la desviación estándar geométrica es igual a .
Si una muestra de datos determina que proviene de una población distribuida siguiendo una distribución log-normal, la media geométrica de la desviación estándar geométrica puede utilizarse para estimar los intervalos de confianza tal como la media aritmética y la desviación estándar se usan para estimar los intervalos de confianza para un dato distribuido normalmente.
Límite de intervalo de confianza
log
geométrica
3σ límite inferior
2σ límite inferior
1σ límite inferior
1σ límite superior
2σ límite superior
3σ límite superior
Donde la media geométrica y la desviación estándar geométrica
Momentos
Los primeros momentos son:
o de forma general:
Inferencia Estadística
Estimación de parámetros
Para determinar los estimadores por máxima verosimilitud de la distribución lognormal con parámetros y , podemos utilizar el mismo método que se utilizó para estimar los parámetros de una distribución normal. Notemos que
donde denota la función de densidad de la distribución normal entonces la función logarítmica de verosimilitud es
Dado que el primer término es constante respecto a y , ambas funciones logarítmicas de verosimilitud, y , obtienen su máximo con el mismo y , por lo tanto, utilizando los estimadores por máxima verosimilitud son idénticos a los de la distribución normal para observaciones
Para una finita, estos estimadores son in sesgados.
Distribución log-normal ajustada a datos de lluvias máximas diarias por año. [1]
Aplicación
En la hidrología, se utiliza la distribución log-normal para analizar variables aleatorias como valores máximos de la precipitación y la descarga de ríos,[2] y además para describir épocas de sequía.[3]
La imagen azul ilustra un ejemplo del ajuste de la distribución log-normal a lluvias máximas diarias ordenadas, mostrando también la franja de 90% de confianza, basada en la distribución binomial. Las observaciones presentan los marcadores de posición, como parte del análisis de frecuencia acumulada.
Si son variables independentes log-normalmente distribuidas con el mismo parámetro μ y permitiendo que varíe σ, y , entonces Y es una variable distribuida log-normalmente como: .
CumFreq, software for cumulative frequency analysis and probability distribution fitting [1]
Oosterbaan, R.J. (1994). «Chapter 6 Frequency and Regression Analysis». En Ritzema, H.P., ed. Drainage Principles and Applications, Publication 16. Wageningen, The Netherlands: International Institute for Land Reclamation and Improvement (ILRI). pp. 175-224. ISBN90-70754-33-9.
Burke, Eleanor J.; Perry, Richard H.J.; Brown, Simon J. (2010). «An extreme value analysis of UK drought and projections of change in the future». Journal of Hydrology388: 131. doi:10.1016/j.jhydrol.2010.04.035.
Datos:Q826116
Multimedia:Log-normal distribution
Agosto 26, 2021
distribución, normal, probabilidades, estadísticas, distribución, normal, logarítmica, distribución, probabilidad, continua, variable, aleatoria, cuyo, logaritmo, está, normalmente, distribuido, decir, displaystyle, variable, aleatoria, distribución, normal, e. En probabilidades y estadisticas la distribucion normal logaritmica es una distribucion de probabilidad continua de una variable aleatoria cuyo logaritmo esta normalmente distribuido Es decir si X displaystyle X es una variable aleatoria con una distribucion normal entonces exp X displaystyle operatorname exp X tiene una distribucion log normal es decir e X Lognormal m x s x 2 displaystyle e X sim operatorname Lognormal mu x sigma x 2 Log normalFuncion de densidad de probabilidadFuncion de distribucion de probabilidadParametrosm R displaystyle mu in mathbb R s gt 0 displaystyle sigma gt 0 Dominiox 0 displaystyle x in 0 infty Funcion de densidad pdf 1 x s 2 p exp ln x m 2 2 s 2 displaystyle frac 1 x sigma sqrt 2 pi exp left frac ln x mu 2 2 sigma 2 right Funcion de distribucion cdf F ln x m s displaystyle Phi left frac ln x mu sigma right Mediaexp m s 2 2 displaystyle exp left mu frac sigma 2 2 right Modaexp m displaystyle exp mu Varianzae 2 m s 2 e s 2 1 displaystyle e 2 mu sigma 2 left e sigma 2 1 right Coeficiente de simetria e s 2 2 e s 2 1 displaystyle left e sigma 2 2 right sqrt e sigma 2 1 Entropialog 2 s e m 1 2 2 p displaystyle log 2 left sigma e mu frac 1 2 sqrt 2 pi right editar datos en Wikidata Log normal tambien se escribe log normal o lognormal o distribucion de Tinaut Una variable puede ser modelada como log normal si puede ser considerada como un producto multiplicativo de muchos pequenos factores independientes Un ejemplo tipico es un retorno a largo plazo de una inversion puede considerarse como un producto de muchos retornos diarios Indice 1 Definicion 1 1 Funcion de Densidad 1 2 Funcion de Distribucion 1 3 Log normal Multivariada 2 Propiedades 3 Relacion con media y la desviacion estandar geometrica 4 Momentos 5 Inferencia Estadistica 5 1 Estimacion de parametros 6 Aplicacion 7 Distribucion relacionada 8 Vease tambien 9 Software 10 ReferenciasDefinicion EditarFuncion de Densidad Editar Una variable aleatoria positiva X displaystyle X tiene una distribucion lognormal con parametros m displaystyle mu y s displaystyle sigma y escribimos X Lognormal m s 2 displaystyle X sim operatorname Lognormal mu sigma 2 si el logaritmo natural de X displaystyle X sigue una distribucion normal con media m displaystyle mu y varianza s 2 displaystyle sigma 2 esto es ln X N m s 2 displaystyle ln X sim N mu sigma 2 Sean F displaystyle Phi y ϕ displaystyle phi las funciones de distribucion acumulada y de densidad de una normal estandar N 0 1 displaystyle N 0 1 entonces f X x d d x P X x d d x P ln X ln x d d x F ln x m s ϕ ln x m s d d x ln x m s ϕ ln x m s 1 s x 1 s x 2 p exp ln x m 2 2 s 2 displaystyle begin aligned f X x amp frac d dx operatorname P X leq x frac d dx operatorname P ln X leq ln x frac d dx Phi left frac ln x mu sigma right amp phi left frac ln x mu sigma right frac d dx left frac ln x mu sigma right phi left frac ln x mu sigma right frac 1 sigma x amp frac 1 sigma x sqrt 2 pi exp left frac ln x mu 2 2 sigma 2 right end aligned Funcion de Distribucion Editar La funcion de distribucion acumulada es F X x F ln x m s displaystyle F X x Phi left frac ln x mu sigma right donde F displaystyle Phi es la funcion de distribucion acumulada de una normal estandar N 0 1 displaystyle N 0 1 La expresion anterior tambien puede ser escrita como 1 2 1 erf ln x m s 2 1 2 erfc ln x m s 2 displaystyle frac 1 2 left 1 operatorname erf left frac ln x mu sigma sqrt 2 right right frac 1 2 operatorname erfc left frac ln x mu sigma sqrt 2 right Log normal Multivariada Editar SiX N m S displaystyle boldsymbol X sim N boldsymbol mu boldsymbol Sigma es una distribucion normal multivariada entonces Y exp X displaystyle boldsymbol Y exp boldsymbol X tiene una distribucion lognormal multivariante con media E Y i e m i 1 2 S i i displaystyle operatorname E boldsymbol Y i e mu i frac 1 2 Sigma ii y matriz de covarianza Var Y i j e m i m j 1 2 S i i S j j e S i j 1 displaystyle operatorname Var boldsymbol Y ij e mu i mu j frac 1 2 Sigma ii Sigma jj left e Sigma ij 1 right Propiedades EditarSi X Lognormal m s 2 displaystyle X sim operatorname Lognormal mu sigma 2 entonces la variable aleatoria X displaystyle X cumple algunas propiedades La media de X displaystyle X es E X e m s 2 2 displaystyle mathrm E X e mu frac sigma 2 2 La varianza de X displaystyle X es Var X e s 2 1 e 2 m s 2 displaystyle operatorname Var X left e sigma 2 1 right e 2 mu sigma 2 Relacion con media y la desviacion estandar geometrica EditarLa distribucion log normal la media geometrica y la desviacion estandar geometrica estan relacionadas En este caso la media geometrica es igual a exp m displaystyle exp mu y la desviacion estandar geometrica es igual a exp s displaystyle exp sigma Si una muestra de datos determina que proviene de una poblacion distribuida siguiendo una distribucion log normal la media geometrica de la desviacion estandar geometrica puede utilizarse para estimar los intervalos de confianza tal como la media aritmetica y la desviacion estandar se usan para estimar los intervalos de confianza para un dato distribuido normalmente Limite de intervalo de confianza log geometrica3s limite inferior m 3 s displaystyle mu 3 sigma m g e o s g e o 3 displaystyle mu mathrm geo sigma mathrm geo 3 2s limite inferior m 2 s displaystyle mu 2 sigma m g e o s g e o 2 displaystyle mu mathrm geo sigma mathrm geo 2 1s limite inferior m s displaystyle mu sigma m g e o s g e o displaystyle mu mathrm geo sigma mathrm geo 1s limite superior m s displaystyle mu sigma m g e o s g e o displaystyle mu mathrm geo sigma mathrm geo 2s limite superior m 2 s displaystyle mu 2 sigma m g e o s g e o 2 displaystyle mu mathrm geo sigma mathrm geo 2 3s limite superior m 3 s displaystyle mu 3 sigma m g e o s g e o 3 displaystyle mu mathrm geo sigma mathrm geo 3 Donde la media geometrica m g e o exp m displaystyle mu mathrm geo exp mu y la desviacion estandar geometrica s g e o exp s displaystyle sigma mathrm geo exp sigma Momentos EditarLos primeros momentos son m 1 e m s 2 2 displaystyle mu 1 e mu sigma 2 2 m 2 e 2 m 4 s 2 2 displaystyle mu 2 e 2 mu 4 sigma 2 2 m 3 e 3 m 9 s 2 2 displaystyle mu 3 e 3 mu 9 sigma 2 2 m 4 e 4 m 16 s 2 2 displaystyle mu 4 e 4 mu 16 sigma 2 2 o de forma general m k e k m k 2 s 2 2 displaystyle mu k e k mu k 2 sigma 2 2 Inferencia Estadistica EditarEstimacion de parametros Editar Para determinar los estimadores por maxima verosimilitud de la distribucion lognormal con parametros m displaystyle mu y s 2 displaystyle sigma 2 podemos utilizar el mismo metodo que se utilizo para estimar los parametros de una distribucion normal Notemos que L m s i 1 n 1 x i f m s ln x i displaystyle L mu sigma prod i 1 n frac 1 x i varphi mu sigma ln x i donde f displaystyle varphi denota la funcion de densidad de la distribucion normal N m s 2 displaystyle N mu sigma 2 entonces la funcion logaritmica de verosimilitud es L x 1 x 2 x n m s i ln x i L N ln x 1 ln x 2 ln x n m s displaystyle mathcal L x 1 x 2 x n mu sigma sum i ln x i mathcal L N ln x 1 ln x 2 ln x n mu sigma Dado que el primer termino es constante respecto a m displaystyle mu y s displaystyle sigma ambas funciones logaritmicas de verosimilitud L displaystyle mathcal L y L N displaystyle mathcal L N obtienen su maximo con el mismo m displaystyle mu y s displaystyle sigma por lo tanto utilizando los estimadores por maxima verosimilitud son identicos a los de la distribucion normal para observaciones ln x 1 ln x 2 ln x n displaystyle ln x 1 ln x 2 dots ln x n m k ln x k n s 2 k ln x k m 2 n displaystyle widehat mu frac sum k ln x k n qquad widehat sigma 2 frac sum k left ln x k widehat mu right 2 n Para una n displaystyle n finita estos estimadores son in sesgados Distribucion log normal ajustada a datos de lluvias maximas diarias por ano 1 Aplicacion EditarEn la hidrologia se utiliza la distribucion log normal para analizar variables aleatorias como valores maximos de la precipitacion y la descarga de rios 2 y ademas para describir epocas de sequia 3 La imagen azul ilustra un ejemplo del ajuste de la distribucion log normal a lluvias maximas diarias ordenadas mostrando tambien la franja de 90 de confianza basada en la distribucion binomial Las observaciones presentan los marcadores de posicion como parte del analisis de frecuencia acumulada dd Distribucion relacionada EditarSi X N m s 2 displaystyle X sim N mu sigma 2 es una distribucion normal entonces e X Lognormal m s 2 displaystyle e X sim operatorname Lognormal mu sigma 2 Si X Lognormal m s 2 displaystyle X sim operatorname Lognormal mu sigma 2 entonces ln X N m s 2 displaystyle ln X sim N mu sigma 2 Si X m Lognormal m s m 2 m 1 n displaystyle X m sim operatorname Lognormal mu sigma m 2 m overline 1 n son variables independentes log normalmente distribuidas con el mismo parametro m y permitiendo que varie s y Y m 1 N X m displaystyle Y prod m 1 N X m entonces Y es una variable distribuida log normalmente como Y Lognormal m m s m 2 displaystyle Y sim operatorname Lognormal left mu sum m sigma m 2 right Si X Lognormal m s 2 displaystyle X sim operatorname Lognormal mu sigma 2 entonces X a Lognormal a m a 2 s 2 displaystyle X alpha sim operatorname Lognormal alpha mu alpha 2 sigma 2 para a 0 displaystyle alpha neq 0 Vease tambien EditarDistribucion normal Media geometrica Desviacion estandar Funcion error Analisis de frecuencia acumuladaSoftware EditarSe puede usar software o programa de computadora para el ajuste de una distribucion de probabilidad incluyendo la lognormal a una serie de datos Easy fit Archivado el 23 de febrero de 2018 en Wayback Machine data analysis amp simulation MathWorks Benelux enlace roto disponible en Internet Archive vease el historial la primera version y la ultima ModelRisk risk modelling software Ricci distributions fitting distrubutions with R Vito Ricci 2005 Risksolver automatically fit distributions and parameters to samples StatSoft distribution fitting Archivado el 30 de agosto de 2012 en Wayback Machine CumFreq 2 libre sin costo incluye la distribucion normal la lognormal raiz normal cuadrado normal e intervalos de confianza a base de la distribucion binomial Calculadora Distribucion log normalReferencias Editar CumFreq software for cumulative frequency analysis and probability distribution fitting 1 Oosterbaan R J 1994 Chapter 6 Frequency and Regression Analysis En Ritzema H P ed Drainage Principles and Applications Publication 16 Wageningen The Netherlands International Institute for Land Reclamation and Improvement ILRI pp 175 224 ISBN 90 70754 33 9 Burke Eleanor J Perry Richard H J Brown Simon J 2010 An extreme value analysis of UK drought and projections of change in the future Journal of Hydrology 388 131 doi 10 1016 j jhydrol 2010 04 035 Datos Q826116 Multimedia Log normal distributionObtenido de https es wikipedia org w index php title Distribucion log normal amp oldid 134203276, wikipedia, wiki, leyendo, leer, libro, biblioteca,