Un experimento al cual se aplica la distribución de Bernoulli se conoce como Ensayo de Bernoulli o simplemente ensayo y la serie de esos experimentos como experimento Bernoulli.
Definición
Si es una variable aleatoria discreta que mide el "número de éxitos" y se realiza un único experimento con dos posibles resultados denominados éxito y fracaso, se dice que la variable aleatoria se distribuye como una Bernoulli de parámetro con y escribimos.
La Curtosis tiende a infinito para valores de cercanos a 0 o a 1, pero para la distribución de Bernoulli tiene un valor de curtosis menor que el de cualquier otra distribución, igual a -2.
Como caso particular de la distribución binomial
La distribución Bernoulli es un caso especial de la distribución binomial con , esto es .
Distribuciones Relacionadas
Si son variables aleatorias independientes e identicamente distribuidas con entonces la variable aleatoria sigue una distribución binomial con parámetros y , es decir
Ejemplos
Ejemplo 1
Se quiere lanzar una moneda y obtener la probabilidad de que salga cruz, se trata de un solo experimento con dos resultados posibles: el éxito se considerará sacar cruz y valdrá . El fracaso será que salga cara y vale .
La variable aleatoria mide el "número de cruces que salen en un lanzamiento" y sólo existirán dos resultados posibles: 0 (no salga cruz, es decir, salir cara) y 1 (salga cruz), por lo tanto, la variable aleatoria se distribuirá como una Bernoulli con parámetro , es decir, , por lo que
Ejemplo 2
Se lanza un dado y se quiere hallar la probabilidad de que salga un 6.
Cuando lanzamos un dado tenemos 6 posibles resultados:
Estamos realizando un único experimento (lanzar el dado una sola vez).
Se considera éxito sacar un 6, por lo tanto, la probabilidad según la Regla de Laplace (casos favorables dividido entre casos posibles) será 1/6.
Se considera éxito sacar un 6, por tanto, se considera fracaso sacar cualquier otro resultado.
La variable aleatoria X medirá "número de veces que sale un 6", y solo existen dos valores posibles, 0 (que no salga 6) y 1 (que salga un 6).
Por tanto, la variable aleatoria X se distribuye como una Bernoulli de parámetro = 1/6
La probabilidad de que obtengamos un 6 viene definida como la probabilidad de que X sea igual a 1.
La probabilidad de que NO obtengamos un 6 viene definida como la probabilidad de que X sea igual a 0.
Distribución geométrica la distribución de probabilidad del número de ensayos de Bernoulli necesarios para obtener un éxito.
Datos:Q391371
Multimedia:Bernoulli distribution
Marcha 25, 2022
distribución, bernoulli, este, artículo, sección, necesita, referencias, aparezcan, publicación, acreditada, este, aviso, puesto, diciembre, 2014, teoría, probabilidad, estadística, distribución, bernoulli, distribución, dicotómica, nombrada, así, matemático, . Este articulo o seccion necesita referencias que aparezcan en una publicacion acreditada Este aviso fue puesto el 24 de diciembre de 2014 En teoria de probabilidad y estadistica la distribucion Bernoulli o distribucion dicotomica nombrada asi por el matematico suizo Jacob Bernoulli es una distribucion de probabilidad discreta donde el valor 1 displaystyle 1 exito ocurre con la probabilidad p displaystyle p y el valor 0 displaystyle 0 fracaso con la probabilidad q 1 p displaystyle q 1 p BernoulliParametros0 lt p lt 1 displaystyle 0 lt p lt 1 Dominiox 0 1 displaystyle x 0 1 Funcion de probabilidad fp p x 1 p 1 x displaystyle p x 1 p 1 x Funcion de distribucion cdf 0 x lt 0 1 p 0 x lt 1 1 x 1 displaystyle begin cases 0 amp x lt 0 1 p amp 0 leq x lt 1 1 amp x geq 1 end cases Mediap displaystyle p MedianaN AModa 0 q gt p 0 1 q p 1 q lt p displaystyle begin cases 0 amp q gt p 0 1 amp q p 1 amp q lt p end cases Varianzap 1 p displaystyle p 1 p Coeficiente de simetriaq p p q displaystyle frac q p sqrt pq Curtosis6 p 2 6 p 1 p 1 p displaystyle frac 6p 2 6p 1 p 1 p Entropia q ln q p ln p displaystyle q ln q p ln p Funcion generadora de momentos mgf 1 p p e t displaystyle 1 p pe t Funcion caracteristica1 p p e i t displaystyle 1 p pe it editar datos en Wikidata Un experimento al cual se aplica la distribucion de Bernoulli se conoce como Ensayo de Bernoulli o simplemente ensayo y la serie de esos experimentos como experimento Bernoulli Indice 1 Definicion 1 1 Funcion de Probabilidad 1 2 Funcion de Distribucion 2 Propiedades 2 1 Media 2 2 Varianza 2 3 Otras propiedades 2 4 Como caso particular de la distribucion binomial 3 Distribuciones Relacionadas 4 Ejemplos 4 1 Ejemplo 1 4 2 Ejemplo 2 5 Vease tambienDefinicion EditarSi X displaystyle X es una variable aleatoria discreta que mide el numero de exitos y se realiza un unico experimento con dos posibles resultados denominados exito y fracaso se dice que la variable aleatoria X displaystyle X se distribuye como una Bernoulli de parametro p displaystyle p con 0 lt p lt 1 displaystyle 0 lt p lt 1 y escribimosX Bernoulli p displaystyle X sim operatorname Bernoulli p Funcion de Probabilidad Editar Su funcion de probabilidad es P X x p x 1 p 1 x x 0 1 displaystyle operatorname P X x p x 1 p 1 x qquad x 0 1 lo anterior es equivalente a escribir P X x 1 p si x 0 p si x 1 displaystyle operatorname P X x begin cases 1 p amp mbox si x 0 p amp mbox si x 1 end cases en ocasiones tambien suele escribirse como P X x p x 1 p 1 x x 0 1 displaystyle operatorname P X x px 1 p 1 x qquad x 0 1 Funcion de Distribucion Editar La funcion de distribucion acumulada de una variable aleatoria X Bernoulli p displaystyle X sim operatorname Bernoulli p esta dada por F x 0 x lt 0 1 p 0 x lt 1 1 x 1 displaystyle F x begin cases 0 amp x lt 0 1 p amp 0 leq x lt 1 1 amp x geq 1 end cases Propiedades EditarSi X displaystyle X es una variable aleatoria tal que X Bernoulli p displaystyle X sim operatorname Bernoulli p entonces la variable aleatoria X displaystyle X cumple algunas propiedades Media Editar Su media esta dada por E X p displaystyle operatorname E left X right p Esta se demuestra facilmente utilizando la definicion de esperanza E X 0 P X 0 1 P X 1 p displaystyle begin aligned operatorname E X amp 0 cdot operatorname P X 0 1 cdot operatorname P X 1 amp p end aligned con lo anterior es facil obtener una expresion para E X 2 displaystyle operatorname E X 2 pues E X 2 x 0 1 x 2 p x 1 p 1 x p 1 p 1 1 p displaystyle begin aligned operatorname E X 2 amp sum x 0 1 x 2 p x 1 p 1 x amp p 1 p 1 1 amp p end aligned Varianza Editar Teniendo E X 2 displaystyle operatorname E X 2 y E X displaystyle operatorname E X puede deducirse que la varianza de X displaystyle X esta dada por Var X E X 2 E X 2 p p 2 p 1 p displaystyle begin aligned operatorname Var left X right amp operatorname E X 2 operatorname E X 2 amp p p 2 amp p left 1 p right end aligned Otras propiedades Editar El n displaystyle n esimo momento de la variable aleatoria X displaystyle X es E X n p displaystyle operatorname E left X n right p Su funcion generadora de momentos esta dada por M X t 1 p p e t displaystyle M X t 1 p pe t Su funcion generadora de probabilidad esta dada por G X t 1 p p t displaystyle G X t 1 p pt La funcion caracteristica esta dada por f X t 1 p p e i t displaystyle varphi X t 1 p pe it Moda M 0 p lt 1 2 0 1 p 1 2 1 p gt 1 2 displaystyle M begin cases 0 amp p lt 1 2 0 1 amp p 1 2 1 amp p gt 1 2 end cases Asimetria Sesgo g 1 q p q p displaystyle gamma 1 frac q p sqrt qp Curtosis g 2 6 p 2 6 p 1 p 1 p displaystyle gamma 2 frac 6p 2 6p 1 p 1 p La Curtosis tiende a infinito para valores de p displaystyle p cercanos a 0 o a 1 pero para p 1 2 displaystyle p frac 1 2 la distribucion de Bernoulli tiene un valor de curtosis menor que el de cualquier otra distribucion igual a 2 Como caso particular de la distribucion binomial Editar La distribucion Bernoulli es un caso especial de la distribucion binomial con n 1 displaystyle n 1 esto es Bernoulli p Bin 1 p displaystyle operatorname Bernoulli p equiv operatorname Bin 1 p Distribuciones Relacionadas EditarSi X 1 X 2 X n displaystyle X 1 X 2 dots X n son n displaystyle n variables aleatorias independientes e identicamente distribuidas con X i Bernoulli p displaystyle X i sim operatorname Bernoulli p entonces la variable aleatoria X 1 X 2 X n displaystyle X 1 X 2 dots X n sigue una distribucion binomial con parametros n displaystyle n y p displaystyle p es decir i 1 n X i Bin n p displaystyle sum i 1 n X i sim operatorname Bin n p Ejemplos EditarEjemplo 1 Editar Se quiere lanzar una moneda y obtener la probabilidad de que salga cruz se trata de un solo experimento con dos resultados posibles el exito se considerara sacar cruz y valdra p 0 5 displaystyle p 0 5 El fracaso sera que salga cara y vale q 1 p 1 0 5 0 5 displaystyle q 1 p 1 0 5 0 5 La variable aleatoria X displaystyle X mide el numero de cruces que salen en un lanzamiento y solo existiran dos resultados posibles 0 no salga cruz es decir salir cara y 1 salga cruz por lo tanto la variable aleatoria X displaystyle X se distribuira como una Bernoulli con parametro p 0 5 displaystyle p 0 5 es decir X Bernoulli 0 5 displaystyle X sim operatorname Bernoulli 0 5 por lo que P X 0 f 0 0 5 0 0 5 1 0 5 P X 1 f 1 0 5 1 0 5 0 0 5 displaystyle begin aligned operatorname P X 0 amp f 0 0 5 0 0 5 1 0 5 operatorname P X 1 amp f 1 0 5 1 0 5 0 0 5 end aligned Ejemplo 2 Editar Se lanza un dado y se quiere hallar la probabilidad de que salga un 6 Cuando lanzamos un dado tenemos 6 posibles resultados W 1 2 3 4 5 6 displaystyle Omega 1 2 3 4 5 6 Estamos realizando un unico experimento lanzar el dado una sola vez Se considera exito sacar un 6 por lo tanto la probabilidad segun la Regla de Laplace casos favorables dividido entre casos posibles sera 1 6 p 1 6 displaystyle p 1 6 Se considera exito sacar un 6 por tanto se considera fracaso sacar cualquier otro resultado q 1 p 1 1 6 5 6 displaystyle q 1 p 1 1 6 5 6 La variable aleatoria X medira numero de veces que sale un 6 y solo existen dos valores posibles 0 que no salga 6 y 1 que salga un 6 Por tanto la variable aleatoria X se distribuye como una Bernoulli de parametro p displaystyle p 1 6X Bernoulli 1 6 displaystyle X sim operatorname Bernoulli 1 6 La probabilidad de que obtengamos un 6 viene definida como la probabilidad de que X sea igual a 1 P X 1 f 1 1 6 1 5 6 0 1 6 0 1667 displaystyle P X 1 f 1 1 6 1 5 6 0 1 6 0 1667 La probabilidad de que NO obtengamos un 6 viene definida como la probabilidad de que X sea igual a 0 P X 0 f 0 1 6 0 5 6 1 5 6 0 8333 displaystyle P X 0 f 0 1 6 0 5 6 1 5 6 0 8333 Vease tambien EditarDistribucion de probabilidad Distribucion binomial Distribucion geometrica la distribucion de probabilidad del numero de ensayos de Bernoulli necesarios para obtener un exito Datos Q391371 Multimedia Bernoulli distribution Obtenido de https es wikipedia org w index php title Distribucion Bernoulli amp oldid 138787243, wikipedia, wiki, leyendo, leer, libro, biblioteca,