Teoremas de isomorfismo
Los teoremas de isomorfía o, más propiamente, teoremas de isomorfía de Noether, son tres resultados importantes de la teoría de grupos. Estos teoremas relacionan a los grupos con sus grupos cociente, y son de gran utilidad para construir isomorfismos entre diversos grupos y grupos cociente.
Pocos cambios no esenciales hacen a estos teoremas válidos también en términos de anillos y módulos en lugar de grupos.
Primer teorema de isomorfía
Sea un homomorfismo de grupos. Entonces existe un isomorfismo , y por tanto
La construcción del isomorfismo cuya existencia afirma el primer teorema de isomorfía se puede expresar mediante el diagrama conmutativo siguiente:
donde es la proyección canónica de en .
Demostración |
Consideremos el siguiente diagrama conmutativo donde es la aplicación de proyección en el cociente, y la inclusión. Definimos Esta aplicación está bien definida, pues no depende de la elección del representante de gK. Supongamos que . Entonces y por tanto
Además es un homomorfismo, puesto que
es uno a uno: supongamos que . Entonces y , con lo que . Para ver que es sobreyectiva basta observar que para todo existe tal que . En consecuencia . Con esto queda demostrado que es un isomorfismo.[1] |
El primer teorema de isomorfía de Noether es una consecuencia inmediata del teorema fundamental de homomorfismos.
Ejemplos
- Considérese el epimorfismo natural dado por
Es claro que si y sólo si , luego , así que
- Si es el subgrupo alternante del grupo simétrico , entonces
Segundo teorema de isomorfía
Si y son subgrupos de un grupo , con normal en , entonces
Este segundo teorema de isomorfía se deduce del primero, pues si es normal a G entonces también lo es en , y puede demostrarse que el epimorfismo
cumple con . Si y son proyecciones canónicas, entonces la construcción del isomorfismo se describe por el diagrama conmutativo siguiente:
Tercer teorema de isomorfía
Si y son subgrupos normales de un grupo , con , entonces
Esto da lugar al diagrama conmutativo siguiente:
donde son proyecciones canónicas, es la aplicación identidad y donde las flechas horizontales forman una sucesión de homomorfismos exacta.
Este teorema es también consecuencia del primer teorema de isomorfía. Para una demostración de este teorema, así como de los dos primeros teoremas de isomorfía, véase, por ejemplo, el wikilibro de Álgebra, Subgrupos normales.
Referencias
- Rotman, 1999, p. 35.
Bibliografía
- Aragno, Deborah C. (1999). Schaum's Outline of Abstract Algebra. McGrawHill. 0-07-06995-0.
- Ayres, Frank (1965). Schaum's Outline of Modern Abstract Algebra. McGrawHill. ISBN 0-07002-655-6.
- Dean, Richard A. (1990). Classical Abstract Algebra 1990. Harper & Row. 0-06-041601-7.
- Fraleigh, John B. (2002). A first course in Abstract Algebra. Addison Wesley. 0-20176-390-7.
- Herstein, I. N. (1975). Topics In Algebra. Wiley. 0-471-01090-1.
- Jacobson, Nathan (2009). Basic Algebra I 2nd Ed. Dover.
- McCoy, Nel Henry (1995). Introduction to Modern Algebra. 5th Ed (5th edición). Primis. 0-69727-769-0.
- Rotman, Joseph J. (1999). An Introduction to the Theory of Groups (4ª edición). Springer.
- Steinberger, Mark (1994). Algebra (en inglés). International Thomson Publishing.
Enlaces externos
- «Álgebra abstracta: Notas de un curso universitario de álgebra abstracta». 2015.