En álgebra abstracta, para un número de estructuras algebraicas, el teorema fundamental de homomorfismos relaciona la estructura de dos objetos entre los cuales se dé un homomorfismo, y del núcleo y de la imagen del homomorfismo.
Si es un homomorfismo de grupos y es un subgrupo normal de contenido en el núcleo de , entonces existe un único homomorfismo tal que , en donde es la proyección canónica. Así, tenemos el diagrama conmutativo siguiente
El homomorfismo está dado por
para todo de , y se dice que es inducido por . Nótese que si , entonces , por lo que , así que y el homomorfismo está bien definido.
El núcleo de este homomorfismo es , y es un epimorfismo si y solo si lo es.
Si es un homomorfismo, entonces es un epimorfismo, y puesto que es inyectivo cuando su núcleo es trivial, lo que sucede si y solo si , tenemos un isomorfismo . Este caso particular del teorema fundamental de homomorfismos se conoce como primer teorema de isomorfía.
El teorema fundamental de homomorfismos también se cumple para los espacios vectoriales, anillos y módulos tomando, respectivamente, ideales y submódulos en lugar de subgrupos normales.
Puede verse una demostración de este teorema en el wikilibro de Álgebra, Subgrupos normales.
Bibliografía
Hungerford, T. Algebra. (1974) Springer-Verlag, New York.
Datos:Q1187646
Septiembre 10, 2021
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