Número triangular

Un número triangular cuenta objetos dispuestos en un triángulo equilátero. El n-ésimo número triangular es el número de puntos en la disposición triangular con n puntos en un lado, y es igual a la suma de los n números naturales de 1 a n, siendo por convención, el 1 el primer número triangular. Los números triangulares, junto con otros números figurados, fueron objeto de estudio por Pitágoras y los Pitagóricos, quienes consideraban sagrado el 10 escrito en forma triangular, y al que llamaban Tetraktys.

Se muestran los seis primeros números triangulares, así como su término general. Además de la denotación expuesta, un número triangular puede indicarse poniendo entre paréntesis el lado del triángulo correspondiente. Por ejemplo, el 10 es el número triangular de lado 4, es decir, T(4)=10.

Definición formal

Cada número triangular T_n está definido por la siguiente fórmula:

${\displaystyle T_{n}={\begin{matrix}{\frac {n(n+1)}{2}}\end{matrix}}\,}$ 

Teorema. La suma de T n y Tn-1 es un cuadrado perfecto o, si se quiere usar la terminología pitagórica, un número cuadrado.

Demostración

Sean:

${\displaystyle T_{n}={\begin{matrix}{\frac {n(n+1)}{2}}\end{matrix}}\,}$ 

${\displaystyle T_{n-1}={\begin{matrix}{\frac {(n-1)(n-1+1)}{2}}\end{matrix}}={\begin{matrix}{\frac {n(n-1)}{2}}\end{matrix}}\,}$ 

sumando:

${\displaystyle T_{n}+T_{n-1}={\begin{matrix}{\frac {n(n+1)}{2}}\end{matrix}}+{\begin{matrix}{\frac {n(n-1)}{2}}\end{matrix}}\,}$ 

es decir:

${\displaystyle T_{n}+T_{n-1}=n^{2}\,}$ 

quedando demostrado lo propuesto. Podemos comprobarlo con dos números triangulares consecutivos cualesquiera, por ejemplo, con T₃ = 6 y T₄ = 10.

Efectivamente,

${\displaystyle T_{4}+T_{3}=10+6=16=4^{2}\,}$  En la figura 2 (abajo, izquierda) se ve dicho cuadrado.

Suma de dos números triangulares iguales: número oblongo

 

En esta figura se observa cómo del número triangular T₄ resulta el número oblongo de (5·4) puntos.

La suma de dos números triangulares iguales nos da un número oblongo, que conforma la figura de un romboide. Veamos su término general:

${\displaystyle T_{n}+T_{n}=2T_{n}=2{\begin{matrix}{\frac {n(n+1)}{2}}\end{matrix}}\,}$ 

${\displaystyle 2T_{n}=n(n+1)\,}$ 

que es la expresión buscada.

Suma de los primeros números triangulares

La suma de los n primeros números triangulares es también conocida como número tetraédrico, así el enésimo número tetraédrico es la suma de los primeros n números triangulares. Su expresión es:

${\displaystyle S={\frac {n(n+1)(n+2)}{6}}}$ 

Gauss y su teorema

En 1796, el matemático y científico alemán Carl Friedrich Gauss descubrió que todo entero positivo puede representarse como la suma de un máximo de tres números triangulares, hecho que describió en su diario con la misma palabra que usara Arquímedes en su famoso descubrimiento: "¡Eureka! num= Δ + Δ + Δ." Nótese que este teorema no implica que los números triangulares son diferentes (como ocurre en el caso de 20 = 10 + 10), ni tampoco que debe haber una solución con tres números triangulares que sean diferentes de cero. Se trata de un caso especial del teorema del número poligonal de Fermat.

El número triangular más grande que puede representarse con la fórmula 2^k − 1 es 4095 (ecuación de Ramanujan–Nagell).

El matemático polaco Wacław Franciszek Sierpiński se preguntó si habría cuatro números triangulares distintos en la progresión geométrica. El matemático checo Kazimierz Szymiczek infirió que este planteamiento era falso. Los matemáticos chinos Jin-Hui Fang y Yong-Gao Chen, profesores del Departamento de Matemáticas de la Universidad Normal de Nanjing, República Popular de China, demostraron esta inferencia en 2007. ^[1]​^[2]​

Referencias

1. Fang, Jin-Hui (20 de diciembre de 2007). «Nonexistence of a geometric progression that contains four triangular numbers». Integers: Electronic Journal of Combinatorial Number Theory 7. Consultado el 10 de octubre de 2020. 
2. Chen, Yong-Gao; Fang, Jin-Hui (12 de abril de 2007). «Triangular numbers in geometrical progression». Integers: Electronic Journal of Combinatorial Number Theory 7. Consultado el 10 de octubre de 2020. 

Enlaces externos

• Sobre Trygve Nagell (1895-1988), el matemático noruego que comprobó la fórmula que Srinivasa Ramanujan (1887-1920), matemático indio, ya había hipotetizado.
• Sobre Kazimierz Szymiczek
• Foto de Kazimierz Szymiczek

•   Datos: Q245102
•   Multimedia: Triangular numbers