Teoremas de Mertens

En matemáticas, los teoremas de Mertens (por el matemático alemán Franz Mertens (1840–1927), que los demostró) son tres resultados de teoría de números enunciados en 1874 y que tratan sobre la densidad de los números primos, y otro resultado de análisis.

Teoría de números

Primer teorema de Mertens

${\displaystyle \ln n-\sum _{p\leq n}{\frac {\ln p}{p}}=O(1)\quad {\hbox{cuando}}\ n\to \infty ,}$

Véase también: Notación de Landau

Segundo teorema de Mertens

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(-\ln \ln n+\sum _{p\leq n}{\frac {1}{p}}\right)=0,2614972128\ldots ,}$

Ese número es la constante de Meissel-Mertens.

Tercer teorema de Mertens

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\ln n\prod _{p\leq n}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)=e^{-\gamma },}$  donde γ es la constante de Euler-Mascheroni.

Teorema de Mertens en análisis

Si una serie infinita real o compleja ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$  converge a ${\displaystyle A}$  y otra ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}}$  converge absolutamente a ${\displaystyle B}$ , entonces su producto de Cauchy converge a ${\displaystyle AB}$ .

•   Datos: Q1196729