Notación de Landau

En matemática, la Notación de Landau, también llamada "o minúscula" y "O mayúscula", es una notación para la comparación asintótica de funciones, lo que permite establecer la cota inferior asintótica, la cota superior asintótica y la cota ajustada asintótica.

Definición

La notación de Landau (Edmund Landau) se define de la siguiente forma:

Si f(x), g(x) son funciones complejas definidas en un entorno de un punto ${\displaystyle x_{0}}$ , entonces

• ${\displaystyle f=O(g)\,\!}$  cuando ${\displaystyle x\rightarrow x_{0}}$  si y sólo si existe un ${\displaystyle \epsilon >0}$  tal que ${\displaystyle |f(x)|\leq \epsilon |g(x)|}$  para todo ${\displaystyle x}$  en un entorno de ${\displaystyle x_{0}\,\!}$ .
• ${\displaystyle f=o(g)\,\!}$  cuando ${\displaystyle x\rightarrow x_{0}}$  si y sólo si para todo ${\displaystyle \epsilon >0}$  tenemos que ${\displaystyle |f(x)|<\epsilon |g(x)|\,\!}$  para todo ${\displaystyle x}$  en un entorno de ${\displaystyle x_{0}\,\!}$ .

Una versión un poco más restrictiva pero más manejable que la definición anterior es la siguiente:

Sean ${\displaystyle f(x)\,\!}$ , ${\displaystyle g(x)\,\!}$  dos funciones definidas para ${\displaystyle x>x_{0}.\,\!}$  y sea ${\displaystyle g(x)\neq 0\ \ \forall x>x_{0}\,\!}$ . Los símbolos

${\displaystyle f=o(g)\,\!}$  , ${\displaystyle f=O(g)\,\!}$ 

significan respectivamente que ${\displaystyle f(x)/g(x)\to 0\,\!}$  cuando ${\displaystyle x\to x_{0}\,\!}$ , y que ${\displaystyle f(x)/g(x)\,\!}$  está acotado para ${\displaystyle x\,\!}$  suficientemente grande. La misma notación es usada cuando ${\displaystyle x\,\!}$  tiende a un límite finito o a ${\displaystyle -\infty \,\!}$ , o también cuando ${\displaystyle x\,\!}$  tiende a su límite a través de una secuencia discreta de valores. En particular, una expresión es ${\displaystyle o(1)\,\!}$  o ${\displaystyle O(1)\,\!}$  si tal expresión tiende a cero o está acotada respectivamente.

Dos funciones ${\displaystyle f(x)\,\!}$  y ${\displaystyle g(x)\,\!}$  definidas en una vecindad de un punto ${\displaystyle x_{0}\,\!}$  (finito o infinito) son llamadas asintóticamente iguales si ${\displaystyle f(x)/g(x)\to 1\,\!}$  cuando ${\displaystyle x\to x_{0}\,\!}$ 

Si las fracciones ${\displaystyle f(x)/g(x)\,\!}$ , ${\displaystyle g(x)/f(x)\,\!}$  están acotadas en una vecindad de ${\displaystyle x_{0}\,\!}$  se dice que ${\displaystyle f(x)\,\!}$ , ${\displaystyle g(x)\,\!}$  son del mismo orden cuando ${\displaystyle x\to x_{0}\,\!}$ 

Propiedades

Contexto de las propiedades

Sean ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} \,\!}$  y supóngase que ${\displaystyle f\,\!}$  es una función definida sobre un intervalo finito o infinito ${\displaystyle a\leq x<b\,\!}$  y es integrable sobre cualquier intervalo ${\displaystyle (a,b')\,\!}$  con ${\displaystyle b'<b\,\!}$  podemos escribir

${\displaystyle F(x)=\int _{a}^{x}f(t)\mathrm {d} t\ \ x\in (a,b')\,\!}$ 

Sea ${\displaystyle u_{0},u_{1},u_{2},\ldots \,\!}$  una sucesión de números y sea

${\displaystyle U_{\nu }=u_{0}+u_{1}+\cdots +u_{\nu }\ \ (\nu =0,1,\ldots )\,\!}$ 

la misma notación será utilizada para otras letras. Se tienen las siguientes propiedades:

1. Suponga que ${\displaystyle f(x)\,\!}$ , ${\displaystyle g(x)\,\!}$  están definidas en ${\displaystyle a\leq x<b\,\!}$  e integrables sobre cualquier ${\displaystyle (a,b')\,\!}$ , que ${\displaystyle g(x)\geq 0\,\!}$  y que ${\displaystyle G(x)\to +\infty \,\!}$  cuando ${\displaystyle x\to b\,\!}$ . Si ${\displaystyle f(x)=o(g(x))\,\!}$  cuando ${\displaystyle x\to b\,\!}$ , entonces también se tendrá que ${\displaystyle F(x)=o(G(x))\,\!}$ 
2. Sean ${\displaystyle \{u_{\nu }\},\ \{v_{\nu }\},\ \,\!}$  dos sucesiones de números, esta última positiva. Si ${\displaystyle \{u_{\nu }\}=o\{v_{\nu }\},\ \,\!}$  y ${\displaystyle V_{\nu }\to +\infty \,\!}$ , entonces ${\displaystyle U_{\nu }=o(V_{\nu })\,\!}$ 
3. Suponga que la serie ${\displaystyle \sum v_{\nu }\,\!}$  converge, que los ${\displaystyle v\,\!}$ 's son positivos, y que ${\displaystyle u_{\nu }=o(v_{\nu })\,\!}$ . entonces${\displaystyle u_{\nu }+u_{\nu +1}+\cdots =o(v_{\nu }+v_{\nu +1}+\cdots )\,\!}$ 
4. Sea ${\displaystyle f(x)\,\!}$  una función positiva, monótona y finita definida para ${\displaystyle x\geq 0\,\!}$  y sea${\displaystyle F(x)=\int _{0}^{x}f\mathrm {d} t,\ \ \ F_{n}=f(0)+f(1)+\cdots +f(n).\,\!}$ Entonces
   ${\displaystyle (i)}$  si ${\displaystyle f(x)\,\!}$  decrementa, ${\displaystyle F(n)-f_{n}}$  tiende a un límite finito
   ${\displaystyle (ii)}$  si ${\displaystyle f(x)\,\!}$  incrementa, ${\displaystyle F(n)\leq F_{n}\leq F(n)-f(n)_{n}\to +\infty }$ 
5. Sea ${\displaystyle f(x)\,\!}$  positiva, finita y monótona para ${\displaystyle x\geq 0\,\!}$ . Si se cumple ${\displaystyle (i)}$  ${\displaystyle f(x)\,\!}$  incrementa y ${\displaystyle F(x)\to \infty \,\!}$  o ${\displaystyle (ii)}$  ${\displaystyle f(x)\,\!}$  incrementa y ${\displaystyle f(x)=o(F(x))\,\!}$ , entonces ${\displaystyle F_{n}\,\!}$  es asintóticamente igual a ${\displaystyle F(n)\,\!}$  ${\displaystyle \,\!}$ 

Véase también

• Cota superior asintótica
• Cota inferior asintótica
• Cota ajustada asintótica

Bibliografía

• Trigonometric Series, vol. 1, A. Zygmund.

•   Datos: Q9050777