Convergencia absoluta

En matemáticas, una serie (o a veces una integral) de números se dice que converge absolutamente si la suma de los valores absolutos de los términos (o integrandos) es finita.

Definición formal

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$  se dice que es absolutamente convergente si la serie ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\left|a_{n}\right|<\infty }$  .

En otras palabras, la serie es absolutamente convergente si la serie de valores absolutos es una serie convergente.

Convergencia absoluta y convergencia

La convergencia absoluta implica convergencia, aunque la afirmación recíproca no es verdadera.

Supongamos que ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }|a_{n}|}$  converge por hipótesis y que ${\displaystyle a_{n}\leq |a_{n}|}$ , entonces por el Criterio de comparación, si ${\displaystyle |a_{n}|}$  converge, ${\displaystyle a_{n}}$  también lo hará.

Por propiedad del Valor Absoluto, es posible considerar:

${\displaystyle -|a_{n}|\leq a_{n}\leq |a_{n}|}$ 

Sumamos ${\displaystyle |a_{n}|}$  término a término en la desigualdad:

${\displaystyle |a_{n}|-|a_{n}|\leq a_{n}+|a_{n}|\leq |a_{n}|+|a_{n}|}$ 

${\displaystyle 0\leq a_{n}+|a_{n}|\leq 2|a_{n}|}$  o sea:

Se aplica ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }}$  miembro a miembro:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }0\leq \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}+|a_{n}|\leq \sum _{n=0}^{\infty }2|a_{n}|}$ 

Pero por hipótesis, ${\displaystyle 2\sum _{n=0}^{\infty }|a_{n}|}$  converge, entonces por el Criterio de comparación, ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}+|a_{n}|}$  también lo hará. (1)

Ahora, se considera:

${\displaystyle a_{n}=a_{n}+|a_{n}|-|a_{n}|}$ 

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}=\sum _{n=0}^{\infty }[a_{n}+|a_{n}|-|a_{n}|]}$ 

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}=\sum _{n=0}^{\infty }[a_{n}+|a_{n}|]-\sum _{n=0}^{\infty }|a_{n}|}$ 

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }[a_{n}+|a_{n}|]}$  converge por (1).

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }|a_{n}|}$  converge por hipótesis.

Entonces ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$  converge por ser diferencia de series convergentes.

Convergencia condicional

Si la serie ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$  es convergente pero no absolutamente convergente, entonces se dice que la serie es condicionalmente convergente. Esto sucede cuando ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }|a_{n}|}$  es divergente.

Véase también

• Serie convergente
• Serie matemática
• Convergencia (matemáticas)
• Integral impropia

•   Datos: Q332465