Sea una función analítica en un dominio simplemente conexo , excepto en un número finito de puntos que constituyen singularidades aisladas de . Sea una curva en , simple, cerrada, regular a trozos, con orientación positiva y tal que el dominio que esta define contiene las singularidades de . Entonces se tiene:
donde es el Residuo de la función en el punto singular .
En específico, se puede considerar una curva tipo la cual tiene una rotación alrededor de los puntos sobre círculos pequeños, cuando se unen todos estos pequeños círculos por medio de segmentos.
Ya que la curva sigue cada segmento 2 veces con alineación opuesta, solo se necesitan sumar las integrales de alrededor de los círculos pequeños.
Consecuentemente sea parametrización de la curva alrededor del punto , entonces se tiene , por lo tanto:
donde , escogido tan extremadamente diminuto, tal que las esferas están todas desarticuladas y todas en un mismo dominio . Entonces por medio de la linealidad en todas la singularidades, se demuestra que para toda :
teorema, residuos, teorema, residuos, consecuencia, directa, teorema, integral, cauchy, forma, parte, fundamental, teoría, matemática, análisis, complejo, Índice, enunciado, demostración, véase, también, enlaces, externosenunciado, editarsea, displaystyle, col. El teorema de los residuos es consecuencia directa del Teorema integral de Cauchy y forma parte fundamental de la teoria matematica de analisis complejo Indice 1 Enunciado 2 Demostracion 3 Vease tambien 4 Enlaces externosEnunciado EditarSea f D C C displaystyle f colon D subset mathbb C to mathbb C una funcion analitica en un dominio simplemente conexo D displaystyle D excepto en un numero finito de puntos z k displaystyle z k que constituyen singularidades aisladas de f displaystyle f Sea C displaystyle C una curva en D displaystyle D simple cerrada regular a trozos con orientacion positiva y tal que el dominio que esta define contiene las singularidades de f displaystyle f Entonces se tiene C f z d z 2 p i k Res f z k displaystyle oint C f z dz 2 pi i sum k operatorname Res f z k donde Res f z k displaystyle operatorname Res f z k es el Residuo de la funcion f displaystyle f en el punto singular z k displaystyle z k Demostracion EditarSea f displaystyle f holomorfa usando las ecuaciones de Cauchy Riemann la forma diferencial f z d z displaystyle f z dz es cerrada Por lo tanto usando el corolario sobre las diferenciales de forma cerrada un dominio simplemente conexo se sabe que la integral C f z d z displaystyle int C f z dz es igual a C f z d z displaystyle int C f z dz siempre que C displaystyle C sea una curva homotopica con C displaystyle C En especifico se puede considerar una curva tipo C displaystyle C la cual tiene una rotacion alrededor de los puntos a j displaystyle a j sobre circulos pequenos cuando se unen todos estos pequenos circulos por medio de segmentos Ya que la curva C displaystyle C sigue cada segmento 2 veces con alineacion opuesta solo se necesitan sumar las integrales de f displaystyle f alrededor de los circulos pequenos Consecuentemente sea z a j r e i 8 displaystyle z a j rho e i theta parametrizacion de la curva alrededor del punto a j displaystyle a j entonces se tiene d z r i e i 8 d 8 displaystyle dz rho ie i theta d theta por lo tanto C f z d z C f z d z j h C a j B r a j f z d z j h C a j 0 2 p f a j r e i 8 r i e i 8 d 8 displaystyle int C f z dz int C f z dz sum j eta C a j int partial B rho a j f z dz sum j eta C a j int 0 2 pi f a j rho e i theta rho ie i theta d theta donde r gt 0 displaystyle rho gt 0 escogido tan extremadamente diminuto tal que las esferas B r a j displaystyle B rho a j estan todas desarticuladas y todas en un mismo dominio U displaystyle U Entonces por medio de la linealidad en todas la singularidades se demuestra que para toda j displaystyle j i 0 2 p f a j r e i 8 r e i 8 d 8 2 p i R e s f a j displaystyle i int 0 2 pi f a j rho e i theta rho e i theta d theta 2 pi i mathrm Res f a j Sea j displaystyle j fija y apliquese la serie de Laurent para f displaystyle f en a j displaystyle a j f z k Z c k z a j k displaystyle f z sum k in mathbb Z c k z a j k de tal forma que R e s f a j c 1 displaystyle rm Res f a j c 1 donde c 1 es el coeficiente de 1 z a j displaystyle 1 over z a j en la serie de Laurent Entonces tenemos 0 2 p f a j r e i 8 r e i 8 d 8 k 0 2 p c k r e i 8 k r e i 8 d 8 r k 1 k c k 0 2 p e i k 1 8 d 8 displaystyle int 0 2 pi f a j rho e i theta rho e i theta d theta sum k int 0 2 pi c k rho e i theta k rho e i theta d theta rho k 1 sum k c k int 0 2 pi e i k 1 theta d theta Observese que si k 1 displaystyle k 1 se tiene r k 1 c k 0 2 p e i k 1 8 d 8 c 1 0 2 p d 8 2 p c 1 2 p R e s f a j displaystyle rho k 1 c k int 0 2 pi e i k 1 theta d theta c 1 int 0 2 pi d theta 2 pi c 1 2 pi mathrm Res f a j mientras que para k 1 displaystyle k neq 1 se tiene que los terminos de la suma se anulan debido a que 0 2 p e i k 1 8 d 8 e i k 1 8 i k 1 0 2 p 0 displaystyle int 0 2 pi e i k 1 theta d theta left frac e i k 1 theta i k 1 right 0 2 pi 0 displaystyle square Vease tambien EditarResiduoEnlaces externos EditarWeisstein Eric W Residue Theorem En Weisstein Eric W ed MathWorld en ingles Wolfram Research Datos Q830513 Obtenido de https es wikipedia org w index php title Teorema de los residuos amp oldid 140592358, wikipedia, wiki, leyendo, leer, libro, biblioteca,