Sistema de masa variable

En Mecánica, un sistema de masa variable es un conjunto de materia cuya masa varía con el tiempo. La Segunda Ley de Newton no se puede aplicar directamente dado que sólo es válida para sistemas de masa constante.^[1]​^[2]​ Por lo tanto, la dependencia de la masa m respecto del tiempo, se puede calcular reescribiendo la segunda ley de Newton añadiendo un término que considera el momento con la que la masa entra o sale del sistema. Entonces, la ecuación general de movimiento de una masa variable, puede escribirse como:

Los cohetes, los cuales pierden una cantidad significativa de masa a medida que queman el combustible, son un ejemplo de un sistema de masa variable.

${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {ext} }+\mathbf {v} _{\mathrm {rel} }{\frac {\mathrm {d} m}{\mathrm {d} t}}=m{\mathrm {d} \mathbf {v} \over \mathrm {d} t}}$

Donde F_ext es la fuerza neta externa ejercida en el cuerpo, v_rel es la velocidad relativa de la masa que está escapando o ingresando con respecto al centro de masa del cuerpo, y v es la velocidad del cuerpo.^[1]​ En la ingeniería aeroespacial, la cual estudia la mecánica de los cohetes, el término v_rel se lo llama la velocidad efectiva de escape y se denomina como v_e.^[3]​

Un error de concepto frecuente es que un sistema de masa variable puede describirse como la derivada respecto del tiempo del producto de la masa con la velocidad, ya que la fuerza es el cambio en el momento respecto del tiempo. Pero si bien la fuerza sigue siendo el cambio de momento, el momento ya no puede describirse como el producto de masa con la velocidad, sino que se agrega un término nuevo (ver abajo). Además, estos sistemas, como el del cohete que pierde combustible y eyecta gases, no son sistemas cerrados y no se puede tratar a la masa como una variable en función del tiempo. Por lo tanto, la siguiente fórmula no es correcta:

${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {net} }={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\big [}m(t)\mathbf {v} (t){\big ]}=m(t){\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}+\mathbf {v} (t){\frac {\mathrm {d} m}{\mathrm {d} t}}\qquad \mathrm {(Incorrecto)} }$

La falacia de esta fórmula puede verse en que no respeta la Invariancia galileana la cual sostiene que un objeto de masa variable con F = 0 en un marco de referencia, tendrá F ≠ 0 en otro.

Deducción de la fórmula

Existen distintas derivaciones para la ecuación de movimiento del sistema de masa variable, que depende de si la masa está escapando o ingresando al cuerpo (en otras palabras, si la masa del cuerpo está aumentando o disminuyendo). Para simplificar los cálculos, tratamos a los cuerpos como puntuales. También se asume que la masa no es capaz de aplicarle una fuerza externa al cuerpo fuera del evento de acreción/ablación.

Caso acreción de masa

 

En el instante 1, una masa dm con velocidad relativa u está a punto de colisionar con el cuerpo de masa m y velocidad v. Luego de un tiempo dt, en el instante 2, ambas "partículas" se mueven como un solo cuerpo con velocidad v + dv.

La siguiente derivación es para un cuerpo que está ganando masa. Un cuerpo con masa variable en el tiempo m se mueve con velocidad v a un tiempo inicial t. En el mismo instante, una partícula de masa dm se mueve con una velocidad u. El momento inicial se puede escribir como:^[4]​

${\displaystyle \mathbf {p} _{\mathrm {1} }=m\mathbf {v} +\mathbf {u} \mathrm {d} m}$ 

Ahora, a un tiempo t + dt, el cuerpo principal y la masa puntual se acrecientan en un solo cuerpo de velocidad v + dv. Por lo tanto, el nuevo momento del sistema quedaría:

${\displaystyle \mathbf {p} _{\mathrm {2} }=(m+\mathrm {d} m)(\mathbf {v} +\mathrm {d} \mathbf {v} )=m\mathbf {v} +m\mathrm {d} \mathbf {v} +\mathbf {v} \mathrm {d} m+\mathrm {d} m\mathrm {d} \mathbf {v} }$ 

Como dmdv es el producto de dos valores muy pequeños, este término se puede despreciar. Es decir que para un cierto dt el momento del sistema sería:

${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {p} =\mathbf {p} _{\mathrm {2} }-\mathbf {p} _{\mathrm {1} }=(m\mathbf {v} +m\mathrm {d} \mathbf {v} +\mathbf {v} \mathrm {d} m)-(m\mathbf {v} +\mathbf {u} \mathrm {d} m)=m\mathrm {d} \mathbf {v} -(\mathbf {u} -\mathbf {v} )\mathrm {d} m}$ 

Entonces, por la segunda ley de Newton:

${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {net} }={\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}={\frac {m\mathrm {d} \mathbf {v} -(\mathbf {u} -\mathbf {v} )\mathrm {d} m}{\mathrm {d} t}}=m{\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}-(\mathbf {u} -\mathbf {v} ){\frac {\mathrm {d} m}{\mathrm {d} t}}}$ 

Fijarse en que u - v es la velocidad de dm relativa a m, simbolizada como v_rel, esta ecuación final se puede reescribir como:^[5]​

${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {ext} }+\mathbf {v} _{\mathrm {rel} }{\frac {\mathrm {d} m}{\mathrm {d} t}}=m{\mathrm {d} \mathbf {v} \over \mathrm {d} t}}$ 

Caso ablación/eyección de masa

En un sistema en el que la masa está saliendo de un cuerpo, la deducción varía ligeramente. A un tiempo t, una masa m viaja a una velocidad v, por lo tanto el momento inicial del sistema viene dado por:

${\displaystyle \mathbf {p} _{\mathrm {1} }=m\mathbf {v} }$ 

Como el cuerpo principal va a estar perdiendo masa, dm será negativo, esto significa que para un tiempo t + dt el momento de sistema será:

${\displaystyle \mathbf {p} _{\mathrm {2} }=(m+\mathrm {d} m)(\mathbf {v} +\mathrm {d} \mathbf {v} )+\mathbf {u} (-\mathrm {d} m)=m\mathbf {v} +m\mathrm {d} \mathbf {v} +\mathbf {v} \mathrm {d} m+\mathrm {d} m\mathrm {d} \mathbf {v} -\mathbf {u} \mathrm {d} m}$ 

donde u es la velocidad de la masa eyectada. Por tanto, en dt el momento del sistema es:

${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {p} =\mathbf {p} _{\mathrm {2} }-\mathbf {p} _{\mathrm {1} }=(m\mathbf {v} +m\mathrm {d} \mathbf {v} +\mathbf {v} \mathrm {d} m-\mathbf {u} \mathrm {d} m)-(m\mathbf {v} )=m\mathrm {d} \mathbf {v} -(\mathbf {u} -\mathbf {v} )\mathrm {d} m}$ 

Ya verificamos que el dp es el mismo en ambos casos; es decir, la conclusión es la misma y la fórmula se mantiene.^[4]​

Formas de expresión

 

Cuando se suelta, este "globo cohete", eyecta una cantidad significativa de su masa en forma de aire, provocando una aceleración.

Por definición, la aceleración está dada por a = dv/dt, entonces la ecuación de movimiento de un sistema de masa variable se puede escribir:

${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {ext} }+\mathbf {v} _{\mathrm {rel} }{\frac {\mathrm {d} m}{\mathrm {d} t}}=m\mathbf {a} }$ 

Para cuerpos que no son tratados como masas puntuales, a debe ser reemplazado por a_cm, la aceleración del centro de masa del sistema, es decir:

${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {ext} }+\mathbf {v} _{\mathrm {rel} }{\frac {\mathrm {d} m}{\mathrm {d} t}}=m\mathbf {a} _{\mathrm {cm} }}$ 

La fuerza debida a un empuje se suele definir como ${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {empuje} }=\mathbf {v} _{\mathrm {rel} }{\frac {\mathrm {d} m}{\mathrm {d} t}}}$  de manera que:

${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {ext} }+\mathbf {F} _{\mathrm {empuje} }=m\mathbf {a} _{\mathrm {cm} }}$ 

Esta forma nos muestra que un cuerpo puede tener aceleración debida a un empuje, incluso si no actúan fuerzas en él. (F_ext = 0). Nótese finalmente que si tomamos F_net como la suma de F_ext y F_empuje entonces la ecuación retoma la forma usual de la segunda ley de Newton

${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {net} }=m\mathbf {a} _{\mathrm {cm} }}$ 

Referencias

1. Plastino, Angel R.; Muzzio, Juan C. (1992). «On the use and abuse of Newton's second law for variable mass problems». Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy (Netherlands: Kluwer Academic Publishers) 53 (3): 227-232. Bibcode:1992CeMDA..53..227P. ISSN 0923-2958. doi:10.1007/BF00052611. Consultado el 30 de diciembre de 2011. 
2. Basavaraju, G; Ghosh, Dipin (1 de febrero de 1985). Mechanics and Thermodynamics. Tata McGraw-Hill. pp. 162-165. ISBN 978-0-07-451537-2. 
3. Benson, Tom. . NASA. Archivado desde el original el 7 de diciembre de 2014. Consultado el 30 de diciembre de 2011. 
4. Cveticanin, L (21 de octubre de 1998). Dynamics of Machines with Variable Mass (1 edición). CRC Press. pp. 15-20. ISBN 978-90-5699-096-1.  |fechaacceso= requiere |url= (ayuda)
5. Giancoli, Douglas C. (2008). Physics for Scientists & Engineers 2 (4, illustrated edición). Pearson Education. pp. 236-238. ISBN 978-0-13-227359-6. 

•   Datos: Q27826761