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Centro de masas

El centro de masas de un sistema discreto o continuo es el punto geométrico que dinámicamente se comporta como si en él estuviera aplicada la resultante de las fuerzas externas al sistema. De manera análoga, se puede decir que el sistema formado por toda la masa concentrada en el centro de masas es un sistema equivalente al original. Normalmente se abrevia como c.m. o .

Otros conceptos relacionados

 
Dos cuerpos orbitando alrededor de su centro de masas en órbitas elípticas.

En un tratamiento de sistemas de masas puntuales el centro de masas es el punto donde, a efectos inerciales, se supone concentrada toda la masa del sistema. El concepto se utiliza para análisis físicos en los que no es indispensable considerar la distribución de masa. Por ejemplo, en las órbitas de los planetas.

En física, el centroide, el centro de gravedad y el centro de masas pueden, bajo ciertas circunstancias, coincidir entre sí. En estos casos se suele utilizar los términos de manera intercambiable, aunque designan conceptos diferentes. El centroide es un concepto puramente geométrico que depende de la forma del sistema; el centro de masas depende de la distribución de materia, mientras que el centro de gravedad depende también del campo gravitatorio. Así tendremos que:

  • el centro de masas coincide con el centroide cuando la densidad es uniforme o cuando la distribución de materia en el sistema tiene ciertas propiedades, tales como simetría.
  • el centro de masas coincide con el centro de gravedad, cuando el sistema se encuentra en un campo gravitatorio uniforme (el módulo y la dirección de la fuerza de gravedad son constantes).

Cálculo del centro de masas de un sistema

Distribución discreta de materia

Para un sistema de masas discreto, formado por un conjunto de masas puntuales, el centro de masas se puede calcular como:

 

 , masa total del sistema de partículas.
 , masa de la partícula i-ésima.
 , vector de posición de la masa i-ésima respecto al sistema de referencia supuesto.

Un poco más explícito si A1,... An son n puntos, y m1,... mn n números (m como masa). Entonces el centro de masa de los (Ai, mi) es el punto G definido como sigue:

 

Esta definición no depende del punto O, que puede ser cualquiera. Si se toma el origen del plano o del espacio, se obtienen las coordenadas del baricentro como promedio ponderado por los mi de las coordenadas de los puntos Ai:

 

La definición anterior equivale a la fórmula siguiente, más práctica para el cálculo vectorial, pues prescinde de las fracciones (se obtiene tomando O = G):

 

Distribución cuasidiscreta de materia

En el caso de un sistema de cuerpos cuasipuntuales, o cuerpos que distan entre sí mucho más que las dimensiones de cada uno de los cuerpos, el cálculo anterior resulta bastante aproximado.

Distribución continua de materia

Para sistemas de masas continuos o distribuciones continuas de materia debemos recurrir al cálculo infinitesimal e integral, de modo que la expresión anterior se escribe en la forma:

 

  • Distribución de masa homogénea: si la masa está distribuida homogéneamente, la densidad será constante por lo que se puede sacar fuera de la integral haciendo uso de la relación siguiente:  

 

siendo V el volumen total.

Para cuerpos bidimensionales (superficies) o monodimensionales (líneas) se trabajará con densidades superficiales y longitudinales respectivamente.

Para el caso de cuerpos con densidad uniforme, el centro de masas coincidirá con el centroide del cuerpo.

  • Distribución de masa no homogénea: los centros de masas en cuerpos de densidad variable pueden calcularse si se conoce la función de densidad  . En este caso se calcula el centro de masas de la siguiente forma.

 

Para calcular la integral hay que conocer la función de densidad.

Cálculo de centro de masas

Para el cálculo de centros de masas, superficies y volúmenes de sólidos de revolución resulta muy útil el teorema de Pappus-Guldin.

Véase también

Referencias

Bibliografía

Enlaces externos

  • Centro de masas en heurema.com
  •   Datos: Q2945123
  •   Multimedia: Center of gravity

centro, masas, centro, masas, sistema, discreto, continuo, punto, geométrico, dinámicamente, comporta, como, estuviera, aplicada, resultante, fuerzas, externas, sistema, manera, análoga, puede, decir, sistema, formado, toda, masa, concentrada, centro, masas, s. El centro de masas de un sistema discreto o continuo es el punto geometrico que dinamicamente se comporta como si en el estuviera aplicada la resultante de las fuerzas externas al sistema De manera analoga se puede decir que el sistema formado por toda la masa concentrada en el centro de masas es un sistema equivalente al original Normalmente se abrevia como c m o G displaystyle G Indice 1 Otros conceptos relacionados 2 Calculo del centro de masas de un sistema 2 1 Distribucion discreta de materia 2 2 Distribucion cuasidiscreta de materia 2 3 Distribucion continua de materia 3 Calculo de centro de masas 4 Vease tambien 5 Referencias 5 1 Bibliografia 5 2 Enlaces externosOtros conceptos relacionados Editar Dos cuerpos orbitando alrededor de su centro de masas en orbitas elipticas En un tratamiento de sistemas de masas puntuales el centro de masas es el punto donde a efectos inerciales se supone concentrada toda la masa del sistema El concepto se utiliza para analisis fisicos en los que no es indispensable considerar la distribucion de masa Por ejemplo en las orbitas de los planetas En fisica el centroide el centro de gravedad y el centro de masas pueden bajo ciertas circunstancias coincidir entre si En estos casos se suele utilizar los terminos de manera intercambiable aunque designan conceptos diferentes El centroide es un concepto puramente geometrico que depende de la forma del sistema el centro de masas depende de la distribucion de materia mientras que el centro de gravedad depende tambien del campo gravitatorio Asi tendremos que el centro de masas coincide con el centroide cuando la densidad es uniforme o cuando la distribucion de materia en el sistema tiene ciertas propiedades tales como simetria el centro de masas coincide con el centro de gravedad cuando el sistema se encuentra en un campo gravitatorio uniforme el modulo y la direccion de la fuerza de gravedad son constantes Calculo del centro de masas de un sistema EditarDistribucion discreta de materia Editar Para un sistema de masas discreto formado por un conjunto de masas puntuales el centro de masas se puede calcular como r cm i m i r i i m i 1 M i m i r i displaystyle mathbf r text cm frac sum i m i mathbf r i sum i m i frac 1 M sum i m i mathbf r i M displaystyle M masa total del sistema de particulas m i displaystyle m i masa de la particula i esima r i displaystyle mathbf r i vector de posicion de la masa i esima respecto al sistema de referencia supuesto Un poco mas explicito si A1 An son n puntos y m1 mn n numeros m como masa Entonces el centro de masa de los Ai mi es el punto G definido como sigue O G m i O A i m i m 1 O A 1 m n O A n m 1 m n con m i 0 displaystyle overrightarrow OG frac sum m i overrightarrow O A i sum m i frac m 1 overrightarrow O A 1 m n overrightarrow O A n m 1 m n quad mbox con quad sum m i neq 0 Esta definicion no depende del punto O que puede ser cualquiera Si se toma el origen del plano o del espacio se obtienen las coordenadas del baricentro como 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escribe en la forma r cm r d m d m 1 M r d m displaystyle mathbf r text cm frac int mathbf r dm int dm frac 1 M int mathbf r dm Distribucion de masa homogenea si la masa esta distribuida homogeneamente la densidad sera constante por lo que se puede sacar fuera de la integral haciendo uso de la relacion siguiente d m r d V displaystyle dm rho dV r cm r V r d V r d V V r d V V displaystyle mathbf r text cm frac rho int V mathbf r dV rho int dV frac int V mathbf r dV V siendo V el volumen total Para cuerpos bidimensionales superficies o monodimensionales lineas se trabajara con densidades superficiales y longitudinales respectivamente Para el caso de cuerpos con densidad uniforme el centro de masas coincidira con el centroide del cuerpo Distribucion de masa no homogenea los centros de masas en cuerpos de densidad variable pueden calcularse si se conoce la funcion de densidad r r displaystyle rho mathbf r En este caso se calcula el centro de masas de la siguiente forma r cm V r r r d V M 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