Seno hiperbólico

El seno hiperbólico es una función real de variable real ${\displaystyle x}$, que se designa con ${\displaystyle \sinh(x)}$ está definida mediante la siguiente ecuación:

Seno hiperbólico
Gráfica de Seno hiperbólico
Definición	${\displaystyle \sinh x\,}$
Tipo	Función real
Dominio	${\displaystyle (-\infty ,+\infty )}$
Codominio	${\displaystyle (-\infty ,+\infty )}$
Imagen	${\displaystyle (-\infty ,+\infty )}$
Propiedades	Biyectiva Elemental impar Estrictamente creciente Trascendente
Cálculo infinitesimal
Derivada	${\displaystyle \cosh x\,}$
Función primitiva	${\displaystyle \cosh x\,}$
Función inversa	${\displaystyle \operatorname {arcsinh} x}$
Límites	${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }\sinh x=-\infty \,}$ ${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }\sinh x=+\infty \,}$
Funciones relacionadas	Coseno hiperbólico Tangente hiperbólica
[editar datos en Wikidata]

${\displaystyle \sinh(x)={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}}$

^[1]​

donde ${\displaystyle e^{x}}$ es la función exponencial. Esta función, junto con el coseno hiperbólico y la tangente hiperbólica, conforman unas identidades como las trigonométricas circulares, pero con algunas excepciones. Entre ellas:

${\displaystyle {\cosh }^{2}{x}-{\sinh }^{2}{x}=1\,}$

${\displaystyle \tanh(x)={\frac {{\sinh }(x)}{\cosh(x)}}}$

Su relación con el seno está dada por:

${\displaystyle \sin(x)=-i\sinh(ix)}$

Propiedades

• Las funciones circulares seno y coseno están vinculadas con el círculo unitario de frontera x² + y² = 1, mediante la ecuación sen² α + cos²α =1; de igual manera, las hiperbólicas están vinculadas con la hipérbola x² - y² = 1, por medio de cosh² t -sinh² t = 1 donde t = 2 áreas de OCA, O = origen de coordenadas, A punto de la hipérbola, C vértice de la misma.^[2]​

• La función sinh(x) es una función impar, ya que para todo valor de x, se cumple que

${\displaystyle \sinh(-x)=-\sinh(x)}$ 

• La función senh x es creciente, puesto que su derivada es mayor que 0, en todo su campo de definición. ^[3]​
• El punto (0; 0) es punto de inflexión, pues la segunda derivada varía de signo al pasar la función de valores negativos a valores positivos. Además es cóncava hacia abajo para x <0; y convexa hacia arriba para x > 0.^[4]​

Derivadas

${\displaystyle {{\mathrm {d} } \over {\mathrm {d} x}}{\sinh }(x)={\cosh }(x)}$ 

${\displaystyle {{\mathrm {d} } \over {\mathrm {d} x}}{\cosh }(x)={\sinh }(x)}$ 

Referencias y notas

1. Granville. Cálculo diferencial e integral. Diversas ediciones en español.
2. A. I. Markushévich: Curvas maravillosas ... Editorial Mir Moscú 1984, pág 103
3. Basta aplicar el criterio de primera derivada para función creciente
4. Sólo hay que emplear el criterio de la segunda derivada

Véase también

• Trigonometría
• Identidad trigonométrica
• Función hiperbólica
• Coseno hiperbólico

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. «Hyperbolic Sine». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 

•   Datos: Q1292101