Función hiperbólica

Las funciones hiperbólicas son unas funciones cuyas definiciones se basan en la función exponencial, conectando mediante operaciones racionales y son análogas a las funciones trigonométricas.^[1]​ Estas son:

Curvas de las funciones hiperbólicas sinh, cosh y tanh

Curvas de las funciones hiperbólicas csch, sech y coth

El seno hiperbólico

${\displaystyle \sinh(x)={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}}$

El coseno hiperbólico

${\displaystyle \cosh(x)={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}}$

La tangente hiperbólica

${\displaystyle \tanh(x)={\frac {\sinh(x)}{\cosh(x)}}}$

y otras líneas:

${\displaystyle \coth(x)={\frac {\cosh(x)}{\sinh(x)}}}$

(cotangente hiperbólica)

${\displaystyle {\mbox{sech}}(x)={\frac {1}{\cosh(x)}}}$

(secante hiperbólica)^[2]​

${\displaystyle {\mbox{csch}}(x)={\frac {1}{\sinh(x)}}}$

(cosecante hiperbólica)

Relación entre funciones hiperbólicas y funciones circulares

Las funciones trigonométricas sin(t) y cos(t) pueden ser las coordenadas cartesianas (x,y) de un punto P sobre la circunferencia unitaria centrada en el origen, donde es t el ángulo, medido en radianes, comprendido entre el semieje positivo X, y el segmento OP, según las siguientes igualdades:

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x(t)=\cos t\\y(t)=\sin t\end{matrix}}\right.}$ 

También puede interpretarse el parámetro t como la longitud del arco de circunferencia unitaria comprendido entre el punto (1,0) y el punto P, o como el doble del área del sector circular determinado por el semieje positivo X, el segmento OP y la circunferencia unitaria.

 

Animación de la representación del seno hiperbólico.

De modo análogo, podemos definir las funciones hiperbólicas, como las coordenadas cartesianas (x,y) de un punto P de la hipérbola equilátera, centrada en el origen, cuya ecuación es

${\displaystyle \ x^{2}-y^{2}=1}$ 

siendo t el doble del área de la región comprendida entre el semieje positivo X, y el segmento OP y la hipérbola, según las siguientes igualdades:

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x(t)=\cosh t\\y(t)=\sinh t\end{matrix}}\right.}$ 

Sin embargo, también puede demostrarse que es válida la siguiente descripción de la hipérbola:

${\displaystyle \ x(t)={\frac {e^{t}+e^{-t}}{2}}}$ 

${\displaystyle \ y(t)={\frac {e^{t}-e^{-t}}{2}}}$ 

dado que

${\displaystyle \ \left({\frac {e^{t}+e^{-t}}{2}}\right)^{2}-\left({\frac {e^{t}-e^{-t}}{2}}\right)^{2}=1}$ 

De modo que el coseno hiperbólico y el seno hiperbólico admiten una representación en términos de funciones exponenciales de variable real:

${\displaystyle \ \cosh(t)={\frac {e^{t}+e^{-t}}{2}}}$ 

${\displaystyle \ \sinh(t)={\frac {e^{t}-e^{-t}}{2}}}$ 

Relaciones

Ecuación fundamental

${\displaystyle \cosh ^{2}(x)-\,\mathrm {sinh} ^{2}(x)=1\,}$ 

Duplicación del argumento

Se tienen las siguientes fórmulas^[3]​ muy similares a sus correspondientes trigonométricas

${\displaystyle \cosh(x+y)=\cosh(x)\cosh(y)+\sinh(x)\sinh(y)}$ 

${\displaystyle \cosh(x-y)=\cosh(x)\cosh(y)-\sinh(x)\sinh(y)}$ 

que lleva a la siguiente relación:

${\displaystyle \cosh(2x)=\cosh ^{2}(x)+\,\mathrm {sinh} ^{2}(x)}$ 

y por otra parte

${\displaystyle \mathrm {sinh} (x+y)=\mathrm {sinh} (x)\cosh(y)+\mathrm {sinh} (y)\cosh(x)}$ 

${\displaystyle \mathrm {sinh} (x-y)=\mathrm {sinh} (x)\cosh(y)-\mathrm {sinh} (y)\cosh(x)}$ 

que lleva a:

${\displaystyle \mathrm {sinh} (2x)=2\,\mathrm {sinh} (x)\cosh(x)}$ 

se tiene esta otra relación

${\displaystyle \tanh(x+y)={\frac {\tanh(x)+\tanh(y)}{1+\tanh(x)\tanh(y)}}}$ 

que permite obtener

${\displaystyle \tanh(2x)={\frac {2\tanh x}{1+\tanh ^{2}x}}}$ 

Derivación e integración

${\displaystyle {\frac {d\ }{dx}}(\cosh(x))=\,\mathrm {sinh} \,(x)}$ 

${\displaystyle {\frac {d\ }{dx}}(\,\mathrm {sinh} \,(x))=\cosh(x)}$ 

${\displaystyle {\frac {d\ }{dx}}(\,\tanh(x))=\mathrm {sech} ^{2}(x)}$ 

${\displaystyle {\frac {d\ }{dx}}(\mathrm {coth} (x))=-\mathrm {csch} ^{2}(x)}$ 

${\displaystyle {\frac {d\ }{dx}}(\mathrm {sech} (x))=-\mathrm {sech} (x)\tanh(x)}$ 

${\displaystyle {\frac {d\ }{dx}}(\mathrm {csch} (x))=-\mathrm {csch} (x)\mathrm {coth} (x)}$ 

Además la integración al ser la operación inversa de la derivación es trivial en este caso.

La derivada de sinh(x) está dada por cosh(x) y la derivada de cosh(x) es sinh(x). El gráfico de la función cosh(x) se denomina catenaria.

Relación con la función exponencial

De la relación del coseno y seno hiperbólico se pueden derivar las siguientes relaciones:

${\displaystyle e^{x}=\cosh x+\sinh x\!}$ 

y

${\displaystyle e^{-x}=\cosh x-\sinh x.\!}$ 

Éstas expresiones son análogas a las que están en términos de senos y cosenos, basadas en la fórmula de Euler, como suma de exponenciales complejos.

${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x.}$ 

Adicionalmente,

${\displaystyle e^{x}={\sqrt {\frac {1+\tanh x}{1-\tanh x}}}={\frac {1+\tanh {\frac {x}{2}}}{1-\tanh {\frac {x}{2}}}}}$ 

Expresiones en forma de serie de Taylor

Es posible expresar explícitamente la serie de Taylor en cero (o la serie de Laurent, si la función no está definida en cero) de las funciones anteriores.

${\displaystyle \sinh x=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}}$ 

Esta serie es convergente para todo valor complejo de x. Puesto que la función sinh x es impar, solo los exponentes impares de x aparecen en esta serie de Taylor.

${\displaystyle \cosh x=1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}}$ 

Esta serie es convergente para todo valor complejo de x. Puesto que la función cosh x es par, solo los exponentes pares de x aparecen en esta serie de Taylor.

La suma de las series del sinh y cosh es la expresión en forma de serie de taylor de la función exponencial.

Las siguientes series se obtienen de la descripción de un subconjunto de su radio de convergencia, donde la serie es convergente y su suma es igual a la función.

${\displaystyle {\begin{aligned}\tanh x&=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}-{\frac {17x^{7}}{315}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},\qquad \left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}\\\coth x&=x^{-1}+{\frac {x}{3}}-{\frac {x^{3}}{45}}+{\frac {2x^{5}}{945}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2^{2n}B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},\qquad 0<\left|x\right|<\pi \\\operatorname {sech} \,x&=1-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {5x^{4}}{24}}-{\frac {61x^{6}}{720}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {E_{2n}x^{2n}}{(2n)!}},\qquad \left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}\\\operatorname {csch} \,x&=x^{-1}-{\frac {x}{6}}+{\frac {7x^{3}}{360}}-{\frac {31x^{5}}{15120}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2(1-2^{2n-1})B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},\qquad 0<\left|x\right|<\pi \end{aligned}}}$ 

donde:

${\displaystyle B_{n}\,}$  es el n-ésimo número de Bernoulli

${\displaystyle E_{n}\,}$  es el n-ésimo número de Euler

Funciones hiperbólicas inversas

Artículo principal: Funciones hiperbólicas inversas

Las funciones hiperbólicas inversas son las funciones inversas de las funciones hiperbólicas. Para un valor dado de una función hiperbólica, la función hiperbólica inversa correspondiente proporciona el ángulo hiperbólico.

Véase también

• Trigonometría
• Logaritmo natural
• Número e
• Hipérbola

Referencias

1. Cálculo de Granville
2. Matematicas Fundamentales Para Ingenieros. Univ. Nacional de Colombia. ISBN 9789589322734. Consultado el 14 de noviembre de 2017. 
3. Bronshtein, I y otro (1982). Manual de Matemáticas para Ingenieros y estudiantes. Mir. p. 696. 

•   Datos: Q204034
•   Multimedia: Hyperbolic functions
•   Recursos didácticos: Funciones hiperbólicas