Radio de convergencia

En matemáticas, según el teorema de Cauchy-Hadamard, el radio de convergencia de una serie de la forma ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-x_{0})^{n}}$, con ${\displaystyle a_{n},x,x_{0}\in \mathbb {R} }$, viene dado por la expresión:

${\displaystyle {\frac {1}{r}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {|a_{n+1}|}{|a_{n}|}}}$

Definición

Si nos limitamos al conjunto de los números reales, una serie de la forma ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-x_{0})^{n}}$ , con ${\displaystyle a_{n},x,x_{0}\in \mathbb {R} }$ , recibe el nombre de serie de potencias centrada en ${\displaystyle x_{0}}$ . La serie converge absolutamente para un conjunto de valores de ${\displaystyle x}$  que verifica que ${\displaystyle |x-x_{0}|<r}$ , donde r es un número real radio de convergencia de la serie. Esta converge, pues, al menos, para los valores de ${\displaystyle x}$  pertenecientes al intervalo ${\displaystyle (x_{0}-r,}$  ${\displaystyle x_{0}+r)}$ , ya que la convergencia para los extremos de este ha de estudiarse aparte, por lo que el intervalo real de convergencia puede ser también semiabierto o cerrado. Si la serie converge solo para ${\displaystyle x_{0}}$ , ${\displaystyle r=0}$ . Si lo hace para cualquier valor de ${\displaystyle x}$ , ${\displaystyle r=}$  ${\displaystyle \infty \,\!}$ 

Ejemplos

Mostraremos el radio de convergencia de algunos desarrollos en series de potencias con sus respectivos radios de convergencia sin justificar porqué el radio de convergencia es el dado.

Radio de convergencia finito

La función ${\displaystyle 1/(1-x)}$  en su desarrollo con centro 0, o sea, en series de potencias ${\displaystyle x-x_{0}=x-0=x}$ , tiene el siguiente aspecto:

${\displaystyle {\frac {1}{1-x}}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}=1+x+x^{2}+x^{3}+\ldots }$ 

(Para el cálculo de la serie vea serie de Taylor). Su radio de convergencia es ${\displaystyle r=1}$ . Eso significa que para calcular si tomo cualquier valor cuya distancia al ${\displaystyle x_{0}=0}$  es menor que ${\displaystyle r=1}$ , por ejemplo el ${\displaystyle x=0.25}$ , entonces al remplazarlo en la serie el resultado de calcular la serie será el mismo que remplazarlo en la función, de hecho

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }0.25^{n}=1+0.25+0.25^{2}+0.25^{3}+\ldots ={\frac {4}{3}}}$ .

(La cuenta se puede hacer por serie de potencia). Y por otro lado

${\displaystyle {\frac {1}{1-0.25}}={\frac {1}{1-{\frac {1}{4}}}}={\frac {4}{3}}}$ .

Pero si tomamos un elemento fuera del radio de convergencia, por ejemplo el ${\displaystyle x=2}$ , al remplazarlo en la serie, esta será divergente (por eso el nombre de radio de convergencia). Efectivamente:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }2^{n}=1+2+2^{2}+2^{3}+\ldots =\infty }$ .

Distancia a la singularidad

El cálculo del radio de convergencia no es simple. Veamos una función con dos desarrollos en serie con distintos centros y analicemos sus radios de convergencia. La misma función ${\displaystyle 1/(1-x)}$  en su desarrollo con centro ${\displaystyle x_{0}=3}$  tiene la forma:

${\displaystyle {\frac {1}{1-x}}=-{\frac {1}{2}}+{\frac {x-3}{4}}-{\frac {(x-3)^{2}}{8}}+{\frac {(x-3)^{3}}{16}}-\ldots }$ 

Pero en este caso su radio de convergencia es ${\displaystyle r=2}$ . Notemos que la función ${\displaystyle 1/(1-x)}$  tiene una singularidad en el 1; y que en los dos caso anteriores el radio de convergencia coincide con la distancia del centro a la singularidad: ${\displaystyle |0-1|=1}$  y ${\displaystyle |3-1|=2}$ . Esto puede llevarnos a pensar que las funciones de variable real que no tengan singularidades tendrán radio de convergencia infinito, lo cual no es así. En el siguiente ejemplo:

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{1+x^{2}}}}$ 

Podemos ver que no se anula el denominador para ningún punto y que por tanto: ${\displaystyle Domf(x)=\mathbb {R} }$ . No obstante, la serie se puede expresar como: ${\displaystyle f(x)={\frac {1}{1-(-x^{2})}}}$ 

y gracias al desarrollo como serie de potencias de ${\displaystyle {\frac {1}{1-x}}}$  queda: ${\displaystyle 1-x^{2}+x^{4}-x^{6}...=\sum _{k=0}^{\infty }{(-1)^{k}x^{2k}}}$ . Con el criterio del cociente podemos comprobar que el radio de convergencia es ${\displaystyle r=1}$ . Este resultado tiene que ver con que las raíces de ${\displaystyle x^{2}+1}$  sí existen en el plano complejo y son ${\displaystyle x=i}$  y en ${\displaystyle x=-i}$ , ambas a distancia 1 del origen, punto en el que desarrollamos la serie. Más información en ^[1]​

Radio de convergencia infinito

Por ejemplo, la función exponencial ${\displaystyle e^{x}}$  puede desarrollarse en series de potencia de ${\displaystyle x-0=x}$ , de hecho ${\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\ldots }$ 

y esto vale para todo real ${\displaystyle x}$  por eso el radio de convergencia será infinito.

Véase también

• Serie matemática
• Serie de Laurent

•   Datos: Q1428097

1. http://www.ehu.eus/izaballa/Ecu_Dif/Apuntes/series.pdf