Elemento conjugado

Para otros usos de este término, véase Conjugación (desambiguación).

No debe confundirse con el conjugado de un número complejo.

En matemáticas, los elementos conjugados de un elemento algebraico x en un cuerpo K son las raíces de su polinomio mínimo en K, en una extensión L de K donde este polinomio es dividido (es decir, se puede expresar como un producto de monomios).

De manera equivalente, los conjugados de x son la imagen de x generada por los K-automorfismos de L/K.

Ejemplos

• Si α es un elemento de K, su polinomio mínimo sobre K es X – α, por lo tanto, su único conjugado sobre K es él mismo.
• Si α = a + ib es un número complejo no real, es decir, si su parte imaginaria b no es cero, entonces su polinomio mínimo en ℝ es (X – α)(X – α) = X² – 2aX + a²+b², y por lo tanto, sus conjugados en ℝ son α y su número complejo conjugado α.
• Las raíces cúbicas de la unidad en ℂ son

${\displaystyle 1,\quad \mathrm {j} =\mathrm {e} ^{\frac {2\mathrm {i} \pi }{3}}={\frac {-1+\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{2}}\quad {\text{y}}\quad \mathrm {j} ^{2}={\overline {\mathrm {j} }}=\mathrm {e} ^{\frac {-2\mathrm {i} \pi }{3}}={\frac {-1-\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{2}}.}$ 

En ℚ, j y j² tienen el polinomio mínimo común X² + X + 1 y son conjugados. De manera más general, las raíces primitivas n-ésimas de la unidad en ℂ tienen un polinomio mínimo en ℚ, el n-ésimo polinomio ciclotómico, y son conjugadas en ℚ.

Propiedades

• El polinomio mínimo de α en K se divide entre cualquier extensión normal L de K que contenga α (por ejemplo, una clausura algebraica de K, o incluso solo un cuerpo de descomposición del polinomio).^[1]​ Los conjugados de α son entonces las imágenes de α por los elementos del grupo de Galois de la extensión.
• Sea α un número entero algebraico distinto de cero y |α|, el mayor de los módulos de sus conjugados sobre ℚ. Kronecker demostró^[2]​^[3]​^[4]​ que

1. Si |α| es menor o igual a 1, α es la raíz de la unidad;
2. Si |α| es menor o igual a 2 y α es totalmente real, es decir, si todos los conjugados de α sobre ℚ pertenecen al intervalo real [–2, 2], entonces α es de la forma 2 cos(πr) para un determinado r racional.

El punto 1 se puede deducir del siguiente lema (utilizado también en otra parte de la prueba del teorema de las unidades de Dirichlet):^[5]​^[6]​ para cualquier entero n y cualquier real C, existe solo un número finito de enteros algebraicos α tales que el grado (del polinomio mínimo) de α es menor o igual que n y que |α| ≤ C.

Demostración

* Prueba del lema: los coeficientes del polinomio mínimo P de α son funciones simétricas de los conjugados de α. Si el grado de P y los conjugados de α están acotados, entonces estos coeficientes también están acotados (ya que son números enteros) y solo pueden tomar un número finito de valores. Así, el conjunto considerado es finito, como el conjunto de raíces de un número finito de polinomios. Prueba del punto 1: si α es de grado n, entonces todas sus potencias son de grado menor o igual a n. Al aplicar el lema para C = 1, se deduce que estas potencias son finitas, lo que nos permite comprobar la proposición.

Existen varios refinamientos del punto 1 proporcionando, según el grado de α, un aumento de |α| menos restrictivo pero suficiente para que α sea la raíz de la unidad.^[3]​

Conjugados de un polinomio

Supóngase que f(x) es un polinomio separable e irreducible en K[X], y que existe una extensión M/K y un polinomio g en M[X] de modo que g divide f en M[X]. Si se denomina L al cuerpo de descomposición de f en K, L/K es galoisiano y L[X]/K[X] es isomorfo a L/K. Además, los coeficientes de g pertenecen a L. En particular, el polinomio g es algebraico en K[X], y por tanto tiene elementos conjugados en K[X]: el conjunto de conjugados de g se obtiene aplicando los automorfismos de Gal(L/K) sobre los coeficientes de g.

Propiedades

Es natural pensar que el producto de los conjugados de g es igual a f, pero esto es incorrecto, a menos que g sea irreducible y f sea primitivo, en el sentido de que L/K es generado por una sola raíz de f.

En general, el producto de los conjugados de g es igual a cfⁿ, donde c pertenece al campo K y n es un número natural.

Referencias

1. Lang, Serge (1978). Algebra (en inglés) (8ª reimpr. edición). p. 182. 
2. Kronecker, Leopold (1857). «Zwei Sätze über Gleichungen mit ganzzahligen Coefficienten». J. reine angew. Math. Journal für die reine und angewandte Mathematik (en alemán) 53: 173-175. 
3. Władysław Narkiewicz (2004). Springer, ed. Elementary and Analytic Theory of Algebraic Numbers (en inglés) (3 edición). p. 49 y 71 de 712. ISBN 978-3-540-21902-6. 
4. James Fraser McKee; C. Smyth (2008). «Conjugate algebraic numbers on conics: A survey». En CUP, ed. Number Theory and Polynomials. LMS Lecture Note Series (en inglés) (Cambridge University Press) (352): 211-240. ISBN 978-0-52171467-9. 
5. Janusz, Gerald J. (1973). «55». En Academic Press, ed. Algebraic Number Fields. Pure and Applied Mathematics (en inglés) (55) (3 edición). p. 220. ISBN 978-0-12-380250-7. 
6. Lang, Serge (1994). «Algebraic Number Theory». En Springer, ed. GTM (en inglés) (110) (2 edición). pp. 105 de 357. ISBN 978-0-387-94225-4. 

Véase también

• Lema de Krasner
• Número de Pisot-Vijayaraghavan
• Número de Salem

Enlaces externos

•   Portal:Matemáticas. Contenido relacionado con Matemáticas.
• Weisstein, Eric W. «Conjugate Elements». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 

•   Datos: Q714220