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Politopo de cruce

Enero 13, 2023

Este artículo o sección necesita referencias que aparezcan en una publicación acreditada.
Este aviso fue puesto el 6 de agosto de 2011.

En geometría, un politopo de cruce u ortoplex, es un politopo regular convexo que existe en cualquier número de dimensiones. Los vértices de un politopo de cruce consisten de todas las permutaciones de (±1, 0, 0, …, 0). El politopo de cruce es el casco o envoltorio convexo de sus vértices. (Nota: algunos autores definen al politopo convexo sólo como la envoltura de esta región).

En una dimensión, el politopo de cruce es simplemente un segmento de línea [−1, +1], en dos dimensiones es el cuadrado con vértices {(±1, 0), (0, ±1)}. En tres dimensiones es el octaedro (uno de los cinco poliedros conocidos como sólidos platónicos. Los politopos de cruce en mayor número de dimensiones son generalizaciones de estos.

2 dimensiones 3 dimensiones 4 dimensiones

El politopo de cruce es el dual del politopo de medida.

Cuatro dimensiones

Artículo principal: Hexadecacoron

El politopo de cruce de cuatro dimensiones tiene el nombre de hexadecacoron o 16-cell, uno de los seis polícoros regulares. Estos polícoros fueron descriptos originalmente por el matemático suizo Ludwig Schläfli a mediados del siglo XIX.

Dimensiones mayores

En n dimensiones con n > 4 existen sólo tres politopos regulares: el simplex, el politopo de medida, y el politopo de cruce, siendo estos dos últimos duales y el simplex auto-dual.

El politopo de cruce n-dimensional tiene 2n vértices, y 2n facetas (componentes (n−1)-dimensionales) todos los cuales son n−1-simplices. Las figuras de vértice son todas politopos de cruce (n−1)dimensionales. El símbolo de Schläfli del politopo de cruce es {3,3,…,3,4}.

El número de componentes k-dimensionales (vértices, aristas, caras, …, facetas) de un politopo de cruce n-dimensional está determinado por (ver coeficiente binomial):

 

Para los primeros n y k tendremos:

Elementos de los Politopos de Cruce
n βn
k11		 Name(s)
Grafo 		Grafo
2n-gono 		Grafo
2(n-1)-gono 		Schläfli Vértices Aristas Caras 3-caras 4-caras 5-caras 6-caras 7-caras 8-caras 9-caras
1 β1 Segmento
1-ortoplex 		  {} 2                  
2 β2
−111		 Cuadrado
2-ortoplex
Bicruce 		    {4}
{}+{} 		4 4                
3 β3
011		 Octaedro
3-orthoplex
Tricruce 		    {3,4}
{30,1,1}
{}+{}+{} 		6 12 8              
4 β4
111		 Hexadecacoron
4-orthoplex
Tetracruce 		    {3,3,4}
{31,1,1}
4{} 		8 24 32 16            
5 β5
211		 5-ortoplex
Pentacruce 		    {33,4}
{32,1,1}
5{} 		10 40 80 80 32          
6 β6
311		 6-ortoplex
Hexacruce 		    {34,4}
{33,1,1}
6{} 		12 60 160 240 192 64        
7 β7
411		 7-ortoplex
Heptacruce 		    {35,4}
{34,1,1}
7{} 		14 84 280 560 672 448 128      
8 β8
511		 8-ortoplex
Octacruce 		    {36,4}
{35,1,1}
8{} 		16 112 448 1120 1792 1792 1024 256    
9 β9
611		 9-ortoplex
Eneacruce 		    {37,4}
{36,1,1}
9{} 		18 144 672 2016 4032 5376 4608 2304 512  
10 β10
711		 10-ortoplex
Decacruce 		    {38,4}
{37,1,1}
10{} 		20 180 960 3360 8064 13440 15360 11520 5120 1024
...
n βn
k11		 n-ortoplex
n-cruce 		{3n − 2,4}
{3n − 3,1,1}
n{} 		2n 0-caras, ...   k-caras ..., 2n (n-1)-caras

Los vértices de un politopo de cruz alineado según los ejes están todos a igual distancia unos de otros en la Distancia Manhattan (L1 norm). La Conjetura de Kusner's afirma que afirma que este conjunto de puntos 2D es el mayor conjunto equidistante posible para esta distancia.[1]​


Véase también

Referencias

  1. Guy, Richard K. (1983), «An olla-podrida of open problems, often oddly posed», American Mathematical Monthly 90 (3): 196-200, JSTOR 2975549 ..

Bibliografía

  • Coxeter, H. S. M. (1973). Regular Polytopes (3rd ed. edición). New York: Dover Publications. pp. 121–122. ISBN 0-486-61480-8.  p. 296, Table I (iii): Regular Polytopes, three regular polytopes in n-dimensions (n>=5)

Enlaces externos

  •   Datos: Q1187914
  •   Multimedia: Cross-polytope graphs / Q1187914

Enero 13, 2023
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