Número primo de Wolstenholme

En teoría de números, un número de Wolstenholme es un número primo p si cumple la siguiente condición:

Número primo de Wolstenholme
Nombrado por	Joseph Wolstenholme
Año de publicación	1995^[1]​
Autor de la publicación	McIntosh, R. J.
No. de términos conocidos	2
No. conjeturado de términos	Infinito
Subsecuencia de	Primos regulares
Primeros términos	16843, 2124679
Mayor término conocido	2124679
índice OEIS	A088164 Primos de Wolstenholme: primos p tales que el binomio (2p-1,p-1)== 1 (mod p^4)
[editar datos en Wikidata]

${\displaystyle {{2p-1} \choose {p-1}}\equiv 1{\pmod {p^{4}}}}$

Los números de Wolstenholme se nombran en honor a Joseph Wolstenholme (1891-1929), quien demostró el teorema que lleva su nombre, el equivalente a la relación matemática p³ en 1862, siguiendo a Charles Babbage, quien demostró la equivalencia para p² en 1819.

Hasta la fecha, los únicos números primos de Wolstenholme conocidos son 16843 y 2124679 (sucesión A088164 en OEIS); cualquier otro número primo de Wolstenholme debe ser mayor de 10⁹.

Definición

 

Problemas no resueltos de la matemática: ¿Existen primos de Wolstenholme que no sean 16843 y 2124679?

El primo de Wolstenholme se puede definir de varias formas equivalentes.

Definición mediante coeficientes binomiales

Un primo de Wolstenholme es un número primo p > 7 que satisface la congruencia

${\displaystyle {2p-1 \choose p-1}\equiv 1{\pmod {p^{4}}},}$ 

donde la expresión en el lado izquierdo de la ecuación denota un coeficiente binomial.^[2]​ En comparación, el teorema de Wolstenholme establece que para cada primo p > 3 se cumple la siguiente congruencia:

${\displaystyle {2p-1 \choose p-1}\equiv 1{\pmod {p^{3}}}.}$ 

Definición a través de los números de Bernoulli

Un primo de Wolstenholme es un primo p que divide el numerador del número de Bernoulli B_p−3. ^[3]​^[4]​^[5]​ Por lo tanto, los números primos de Wolstenholme forman un subconjunto de los primos regulares.

Definición a través de pares irregulares

Artículo principal: Primo irregular

Un primo de Wolstenholme es un primo p tal que (p, p–3) es un par irregular. ^[6]​^[7]​

Definición a través de números armónicos

Un primo de Wolstenholme es un primo p tal que ^[8]​

${\displaystyle H_{p-1}\equiv 0{\pmod {p^{3}}}\,,}$ 

es decir, el numerador del número armónico ${\displaystyle H_{p-1}}$  expresado en términos mínimos es divisible por p³.

Búsqueda y estado actual

La búsqueda de números primos de Wolstenholme comenzó en la década de 1960 y continuó durante las décadas siguientes, y los últimos resultados se publicaron en 2007. El primer número primo de Wolstenholme (16843) se encontró en 1964, aunque no se informó explícitamente en ese momento.^[9]​ El descubrimiento de 1964 se confirmó posteriormente de forma independiente en la década de 1970. Este siguió siendo el único ejemplo conocido de un primo de este tipo durante casi 20 años, hasta el anuncio del descubrimiento del segundo primo de Wolstenholme (2124679) en 1993. ^[10]​ Hasta 1,2×10⁷, no se encontraron más primos de Wolstenholme. ^[11]​ Más tarde, McIntosh lo amplió a 2×10⁸ en 1995. ^[4]​ y Trevisan & Weber pudieron alcanzar 2,5×10⁸. ^[12]​ El último resultado a partir de 2007 es que solo hay esos dos números primos de Wolstenholme hasta 10⁹. ^[13]​

Número esperado de primos de Wolstenholme

Se conjetura que existen infinitos números primos de Wolstenholme, y que el número de primos de Wolstenholme ≤ x es aproximadamente ln ln x, donde ln denota el logaritmo natural. Para cada primo p ≥ 5, el cociente de Wolstenholme se define como

${\displaystyle W_{p}{=}{\frac {{2p-1 \choose p-1}-1}{p^{3}}}.}$ 

Claramente, p es un primo de Wolstenholme si y solo si W_p ≡ 0 (mod p). Empíricamente se puede suponer que los restos de W_p módulo p están uniformemente distribuidos en el conjunto {0, 1, ..., p–1}. Por este razonamiento, la probabilidad de que el resto tome un valor particular (por ejemplo, 0) es de alrededor de 1/p. ^[4]​

Véase también

• Número primo de Wieferich
• Número primo de Wall-Sun-Sun
• Número primo de Wilson
• Tabla de congruencias

Referencias

1. Wolstenholme primes were first described by McIntosh in McIntosh, 1995, p. 385
2. Cook, J. D. «Binomial coefficients». Consultado el 21 de diciembre de 2010. 
3. Clarke y Jones, 2004, p. 553.
4. McIntosh, 1995, p. 387.
5. Zhao, 2008, p. 25.
6. Johnson, 1975, p. 114.
7. Buhler et al., 1993, p. 152.
8. Zhao, 2007, p. 18.
9. Selfridge y Pollack publicaron el primer primo de Wolstenholme en Selfridge y Pollack, 1964, p. 97 (véase McIntosh y Roettger, 2007, p. 2092).
10. Ribenboim, 2004, p. 23.
11. Zhao, 2007, p. 25.
12. Trevisan y Weber, 2001, p. 283–284.
13. McIntosh y Roettger, 2007, p. 2092.

Bibliografía

• Selfridge, J. L.; Pollack, B. W. (1964), «Fermat's last theorem is true for any exponent up to 25,000», Notices of the American Mathematical Society 11: 97 .
• Johnson, W. (1975), , Mathematics of Computation 29 (129): 113-120, JSTOR 2005468, doi:10.2307/2005468, archivado desde el original el 22 de septiembre de 2022, consultado el 19 de septiembre de 2022 .
• Buhler, J.; Crandall, R.; Ernvall, R.; Metsänkylä, T. (1993), , Mathematics of Computation 61 (203): 151-153, Bibcode:1993MaCom..61..151B, JSTOR 2152942, doi:10.2307/2152942, archivado desde el original el 27 de julio de 2022, consultado el 19 de septiembre de 2022 .
• McIntosh, R. J. (1995), , Acta Arithmetica 71 (4): 381-389, doi:10.4064/aa-71-4-381-389, archivado desde el original el 8 de agosto de 2022, consultado el 19 de septiembre de 2022 .
• Trevisan, V.; Weber, K. E. (2001), , Matemática Contemporânea 21: 275-286, archivado desde el original el 22 de septiembre de 2022, consultado el 19 de septiembre de 2022 .
• Ribenboim, P. (2004), «Chapter 2. How to Recognize Whether a Natural Number is a Prime», The Little Book of Bigger Primes, New York: Springer-Verlag New York, Inc., ISBN 978-0-387-20169-6 . (enlace roto disponible en este archivo).
• Clarke, F.; Jones, C. (2004), «A Congruence for Factorials», Bulletin of the London Mathematical Society 36 (4): 553-558, doi:10.1112/S0024609304003194 . (enlace roto disponible en este archivo).
• McIntosh, R. J.; Roettger, E. L. (2007), «A search for Fibonacci-Wieferich and Wolstenholme primes», Mathematics of Computation 76 (260): 2087-2094, Bibcode:2007MaCom..76.2087M, doi:10.1090/S0025-5718-07-01955-2 . (enlace roto disponible en este archivo).
• Zhao, J. (2007), , Journal of Number Theory 123: 18-26, S2CID 937685, doi:10.1016/j.jnt.2006.05.005, archivado desde el original el 20 de julio de 2022, consultado el 19 de septiembre de 2022 .
• Zhao, J. (2008), , International Journal of Number Theory 4 (1): 73-106, doi:10.1142/s1793042108001146, archivado desde el original el 20 de septiembre de 2022, consultado el 19 de septiembre de 2022 .

Lecturas adicionales

• Babbage, C. (1819), «Demonstration of a theorem relating to prime numbers», The Edinburgh Philosophical Journal 1: 46-49 .
• Krattenthaler, C.; Rivoal, T. (2009), «On the integrality of the Taylor coefficients of mirror maps, II», Communications in Number Theory and Physics 3 (3): 555-591, Bibcode:2009arXiv0907.2578K, arXiv:0907.2578, doi:10.4310/CNTP.2009.v3.n3.a5 .
• Wolstenholme, J. (1862), «On Certain Properties of Prime Numbers», The Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics 5: 35-39 .

Enlaces externos

• Caldwell, Chris K. Wolstenholme prime de The Prime Glossary
• McIntosh, R. J. Estado de búsqueda de Wolstenholme en marzo de 2004 correo electrónico a Paul Zimmermann
• Bruck, R.
• Conrad, K. The p-adic Growth of Harmonic Sums observación interesante que involucra los dos números primos de Wolstenholme
• Caldwell, Chris. «The Prime Glossary: Wolstenholme prime» (en inglés). The Prime Pages. Universidad de Tennessee. http://primes.utm.edu/glossary/page.php?sort=Wolstenholme .
• Estado de la búsqueda de primos de Wolstenholme

•   Datos: Q2550445