Teorema de Wolstenholme

En matemática, el teorema de Wolstenholme afirma que para un número primo p > 3, la congruencia

${\displaystyle {2p-1 \choose p-1}\equiv 1\,{\bmod {\,}}p^{3}}$

es verdadera, donde la parte izquierda de la igualdad es un coeficiente binomial.
Por ejemplo, con p = 7, dice que 1716 es uno más que un múltiplo de 343. El teorema fue demostrado por Joseph Wolstenholme en 1862;^[1]​ Charles Babbage había mostrado la equivalencia para p² en 1819.^[2]​

No se sabe si un número compuesto cumple el teorema de Wolstenholme. Muy pocos números primos satisfacen la equivalencia para p⁴: los dos únicos valores que la cumplen son: 16843 y 2124679 ((sucesión A088164 en OEIS)), y son llamados números de Wolstenholme.
Este teorema puede ser descompuesto en otros dos resultados:

${\displaystyle (p-1)!\left(1+{1 \over 2}+{1 \over 3}+...+{1 \over p-1}\right)\equiv 0\,{\bmod {\,}}p^{2}}$
y

${\displaystyle (p-1)!^{2}\left(1+{1 \over 2^{2}}+{1 \over 3^{2}}+...+{1 \over (p-1)^{2}}\right)\equiv 0\,{\bmod {\,}}p.}$

Por ejemplo, con p = 7, el primero de ellos dice que 1764 es un múltiplo de 49, mientras que el segundo dice que 773136 es múltiplo de 7.

Ejemplos y discursion de los mismos

Vamos a probar la congruencia de Wolstenholme en su forma original. Para ello explotamos un caso particular de la identidad de Vandermonde

${\displaystyle {2p \choose p}=\sum _{i=0}^{p}{p \choose i}^{2}=2+\sum _{i=1}^{p-1}{p \choose i}^{2}}$ 

Se sigue que la congruencia :${\displaystyle {2p \choose p}\equiv 2\,({\bmod {\,}}p^{3})}$  es equivalente a ${\displaystyle \sum _{i=1}^{p-1}{p \choose i}^{2}\equiv 0\,{\bmod {\,}}p^{3}}$ .

Datos biográficos

El matemático Joseph Wolstenholme (1829-1891) nació un 30 de septiembre.

Escribió el libro A book of Mathematical Problems (1867).

Fue amigo del biógrafo Leslie Stephen (1832-1904), padre de la escritora Virginia Woolf (1882-1941): el poeta Augustus Carmichael de su novela Al faro (1927) estaba precisamente inspirado en Wolstenholme.

Referencias

1. Wolstenholme, J. (1862), «On certain properties of prime numbers», The Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics 5: 35-39 .
2. Babbage, C. (1819), «Demonstration of a theorem relating to prime numbers», The Edinburgh philosophical journal 1: 46-49 .

[1] Granville, A., Arithmetic Properties of Binomial Coefficients I: Binomial coefficients modulo prime powers, Canadian Mathematical Society Conference Proceedings, vol 20 (1997) pp. 253-275.

[2] Hardy, G.H., Wright, E.M., An Introduction to the Theory of Numbers, 4th ed., Oxford University Press, 1975.

[3] Restrepo Mesa, P., On the elemental symmetric functions of 1^{p^k}, 2^{p^k}, \ldots, (p-1)^{p^k}, Mathematical Reflections 4 (2006).

•   Datos: Q1724049