Una construcción geométrica de la media cuadrática y las medias de Pitágoras (de dos números a y b). Media armónica denotado por H, geométrico por G, Aritmética por A y media cuadrática denotada por Q.
La comparación de las medias aritméticas, geométricas y armónicas de un par de números. Las líneas de trazos verticales son asíntotas para los medios armónicos.
Estos medios se estudiaron con proporciones en pitagóricos y posteriores generaciones de matemáticos griegos[1] debido a su importancia en la geometría y la música. Los medios armónicos y aritméticas son duales recíprocas de uno al otro para argumentos positivos (). Mientras que la media geométrica es su propio dual recíproco.
Las desigualdades entre las medias
Hay un pedido a estos medios (para todad positivos)
con igualdad de derechos si y solo si el son todos iguales
Esta es una generalización de la Desigualdad de las medias aritmética y geométrica y un caso especial de una desigualdad para las Media generalizadas. La prueba se sigue de la desigualdad media aritmético-geométrica, y la dualidad recíproca ( and también son recíprocamente duales entre sí).
El estudio de los medios pitagóricos está estrechamente relacionado con la Mayorización y las funciones Schur-convexas. Los medios armónicos y geométricos son funciones simétricas cóncavas de sus argumentos, y por lo tanto Schur-cóncavo, mientras que la media aritmética es una función lineal de sus argumentos, por lo que son cóncavos y convexos.
Referencias
Heath, Thomas. History of Ancient Greek Mathematics.
Datos:Q3281360
Enero 13, 2022
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