En matemáticas, se conoce como desigualdad entre media aritmética y geométrica, o MA-MG, aquella desigualdad que establece que la media aritmética de un conjunto de números reales positivos es mayor o igual que la media geométrica del mismo conjunto, cumpliéndose únicamente la igualdad cuando todos los elementos del conjunto sean iguales.
Media aritmética y media geométrica
La media aritmética de un conjunto de números reales es igual a la suma dividida por el número total de elementos,
La media geométrica de un conjunto de reales no negativos , es igual a la raíz enésima del producto de todos ellos:
La desigualdad
Sea entonces
La igualdad se cumple si y sólo si .
Demostración por inducción
Para demostrar la desigualdad MA-MG, se desarrollará por una variante del método de inducción matemática, demostrando que la MA-MG es cierta para 2 elementos, luego generalizándolo para 2n elementos y demostrando que si es cierta para n es cierta para n-1 elementos (variante "adelante-atrás" según Augustin Louis Cauchy).
Sea un conjunto de n elementos.
Procedemos a considerar el primer paso en que n=2:
Quedando así demostrado para n=2, luego se demuestra que si es cierta para n es cierta para 2n elementos.
Siguiendo la hipótesis,
Se sigue que,
Siendo esto igual a,
Quedando así demostrado que si es cierto para n elementos es cierto para 2n elementos.
Ahora procedemos a demostrar que si es cierta para n elementos es cierta para n-1 elementos,
Sean y
Se considera la desigualdad de todos los elementos mencionados,
Haciendo raíz n-1-ésima se sigue,
Quedando así demostrado por el método inductivo, la veracidad de la desigualdad MA-MG.
Oleksandr, karlein.Rondero Guerrero, Carlos.Tarasenko, Anna. (2008). Desigualdades, métodos de cálculo no tradicionales". Díaz de Santos. ISBN 978-84-7978-807-0
Datos:Q841170
Enero 28, 2022
desigualdad, medias, aritmética, geométrica, matemáticas, conoce, como, desigualdad, entre, media, aritmética, geométrica, aquella, desigualdad, establece, media, aritmética, conjunto, números, reales, positivos, mayor, igual, media, geométrica, mismo, conjunt. En matematicas se conoce como desigualdad entre media aritmetica y geometrica o MA MG aquella desigualdad que establece que la media aritmetica de un conjunto de numeros reales positivos es mayor o igual que la media geometrica del mismo conjunto cumpliendose unicamente la igualdad cuando todos los elementos del conjunto sean iguales Indice 1 Media aritmetica y media geometrica 2 La desigualdad 3 Demostracion por induccion 4 Vease tambien 5 ReferenciasMedia aritmetica y media geometrica EditarLa media aritmetica de un conjunto de numeros reales x 1 x 2 x n displaystyle x 1 x 2 dots x n es igual a la suma dividida por el numero total de elementos x 1 x 2 x n n displaystyle frac x 1 x 2 cdots x n n La media geometrica de un conjunto de reales no negativos x 1 x 2 x n R displaystyle x 1 x 2 dots x n in mathbb R es igual a la raiz enesima del producto de todos ellos x 1 x 2 x n n displaystyle sqrt n x 1 x 2 cdots x n La desigualdad EditarSea x 1 x 2 x n R displaystyle x 1 x 2 dots x n in mathbb R entoncesx 1 x 2 x n n x 1 x 2 x n n displaystyle frac x 1 x 2 cdots x n n geq sqrt n x 1 x 2 cdots x n La igualdad se cumple si y solo si x 1 x 2 x n displaystyle x 1 x 2 cdots x n Demostracion por induccion EditarPara demostrar la desigualdad MA MG se desarrollara por una variante del metodo de induccion matematica demostrando que la MA MG es cierta para 2 elementos luego generalizandolo para 2n elementos y demostrando que si es cierta para n es cierta para n 1 elementos variante adelante atras segun Augustin Louis Cauchy Sea x 1 x 2 x n R displaystyle x 1 x 2 dots x n in mathbb R un conjunto de n elementos Procedemos a considerar el primer paso en que n 2 x 1 x 2 2 0 displaystyle x 1 x 2 2 geq 0 x 1 2 2 x 1 x 2 x 2 2 0 displaystyle x 1 2 2x 1 x 2 x 2 2 geq 0 x 1 2 2 x 1 x 2 x 2 2 4 x 1 x 2 displaystyle x 1 2 2x 1 x 2 x 2 2 geq 4x 1 x 2 x 1 x 2 2 4 x 1 x 2 displaystyle x 1 x 2 2 geq 4x 1 x 2 x 1 x 2 2 4 x 1 x 2 displaystyle frac x 1 x 2 2 4 geq x 1 x 2 x 1 x 2 2 x 1 x 2 2 displaystyle frac x 1 x 2 2 geq sqrt 2 x 1 x 2 Quedando asi demostrado para n 2 luego se demuestra que si es cierta para n es cierta para 2n elementos x 1 x 2 x 2 n 2 n x 1 x 2 x 2 n 2 n displaystyle frac x 1 x 2 cdots x 2n 2n geq sqrt 2n x 1 x 2 cdots x 2n x 1 x 2 x n n x n 1 x n 2 x 2 n n 2 x 1 x 2 x n n x n 1 x n 2 x 2 n n 2 displaystyle frac frac x 1 x 2 cdots x n n frac x n 1 x n 2 cdots x 2n n 2 geq sqrt 2 frac x 1 x 2 cdots x n n frac x n 1 x n 2 cdots x 2n n Siguiendo la hipotesis x 1 x 2 x n n x 1 x 2 x n n displaystyle frac x 1 x 2 cdots x n n geq sqrt n x 1 x 2 cdots x n Se sigue que x 1 x 2 x n n x n 1 x n 2 x 2 n n 2 x 1 x 2 x n n x n 1 x n 2 x 2 n n 2 displaystyle frac frac x 1 x 2 cdots x n n frac x n 1 x n 2 cdots x 2n n 2 geq sqrt 2 sqrt n x 1 x 2 cdots x n sqrt n x n 1 x n 2 cdots x 2n Siendo esto igual a x 1 x 2 x 2 n 2 n x 1 x 2 x 2 n 2 n displaystyle frac x 1 x 2 cdots x 2n 2n geq sqrt 2n x 1 x 2 cdots x 2n Quedando asi demostrado que si es cierto para n elementos es cierto para 2n elementos Ahora procedemos a demostrar que si es cierta para n elementos es cierta para n 1 elementos Sean x 1 x 2 x n 1 R displaystyle x 1 x 2 dots x n 1 in mathbb R y x n x 1 x 2 x n 1 n 1 displaystyle x n frac x 1 x 2 cdots x n 1 n 1 Se considera la desigualdad de todos los elementos mencionados x 1 x 2 x n 1 x 1 x 2 x n 1 n 1 n x 1 x 2 x n 1 x 1 x 2 x n 1 n 1 n displaystyle frac x 1 x 2 cdots x n 1 frac x 1 x 2 cdots x n 1 n 1 n geq sqrt n x 1 x 2 cdots x n 1 frac x 1 x 2 cdots x n 1 n 1 n 1 x 1 n 1 x 2 n 1 x n 1 x 1 x 2 x n 1 n 1 n x 1 x 2 x n 1 n x 1 x 2 x n 1 n 1 n displaystyle frac n 1 x 1 n 1 x 2 cdots n 1 x n 1 x 1 x 2 cdots x n 1 n 1 n geq sqrt n x 1 x 2 cdots x n 1 sqrt n frac x 1 x 2 cdots x n 1 n 1 n x 1 n x 2 n x n 1 n 1 n x 1 x 2 x n 1 n x 1 x 2 x n 1 n 1 n displaystyle frac nx 1 nx 2 cdots nx n 1 n 1 n geq sqrt n x 1 x 2 cdots x n 1 sqrt n frac x 1 x 2 cdots x n 1 n 1 x 1 x 2 x n 1 n 1 x 1 x 2 x n 1 n x 1 x 2 x n 1 n 1 n displaystyle frac x 1 x 2 cdots x n 1 n 1 geq sqrt n x 1 x 2 cdots x n 1 sqrt n frac x 1 x 2 cdots x n 1 n 1 x 1 x 2 x n 1 n 1 n 1 n x 1 x 2 x n 1 1 n displaystyle frac x 1 x 2 cdots x n 1 n 1 frac n 1 n geq x 1 x 2 cdots x n 1 frac 1 n x 1 x 2 x n 1 n 1 n 1 1 x 1 x 2 x n 1 displaystyle frac x 1 x 2 cdots x n 1 n 1 frac n 1 1 geq x 1 x 2 cdots x n 1 Haciendo raiz n 1 esima se sigue x 1 x 2 x n 1 n 1 x 1 x 2 x n 1 1 n 1 displaystyle frac x 1 x 2 cdots x n 1 n 1 geq x 1 x 2 cdots x n 1 frac 1 n 1 Quedando asi demostrado por el metodo inductivo la veracidad de la desigualdad MA MG x 1 x 2 x n n x 1 x 2 x n n n N displaystyle frac x 1 x 2 cdots x n n geq sqrt n x 1 x 2 cdots x n forall n in mathbb N Q E D Vease tambien EditarMediaDesigualdad matematicaMedia aritmeticaMedia geometricaInduccion matematicaReferencias EditarOleksandr karlein Rondero Guerrero Carlos Tarasenko Anna 2008 Desigualdades metodos de calculo no tradicionales Diaz de Santos ISBN 978 84 7978 807 0 Datos Q841170 Obtenido de https es wikipedia org w index php title Desigualdad de las medias aritmetica y geometrica amp oldid 125724046, wikipedia, wiki, leyendo, leer, libro, biblioteca,
