John Flinders Petrie

John Flinders Petrie (26 de abril de 1907 − 1972) fue un matemático inglés, quien demostró una notable aptitud geométrica en su juventud. Cuando era un estudiante, conoció al gran geómetra Harold Scott MacDonald Coxeter,^[1]​ comenzando una amistad que mantuvieron de por vida. Colaboraron en el descubrimiento de los poliedros alabeados infinitos y de los poliedros alabeados (finitos) en la cuarta dimensión, análogos a los anteriores. Además de ser el primero en darse cuenta de la importancia del polígono alabeado que ahora lleva su nombre, todavía son apreciadas sus habilidades como dibujante.

John Flinders Petrie
Información personal
Nacimiento	26 de abril de 1907
Fallecimiento	1972 (65 años) Surrey (Reino Unido)
Causa de muerte	Accidente automovilístico
Nacionalidad	BritánicoBritánico
Familia
Padres	William Matthew Flinders Petrie Hilda Petrie
Información profesional
Ocupación	Geómetra
Área	Geometría
[editar datos en Wikidata]

{4,3,3}
Hipercubo
8 lados
V:(8,8,0)

Biografía

Petrie nació el 26 de abril de 1907, en Hampstead, Londres. Era el único hijo varón del renombrado egiptólogo Sir William Matthew Flinders Petrie.^[2]​ Como estudiante, mostró el notable potencial de sus capacidades matemáticas. Mientras estudiaba en un internado, coincidió con Coxeter en un sanatorio mientras se recuperaba de una enfermedad leve, iniciándose una amistad que mantendrían a lo largo de sus vidas. Mirando un libro de texto de geometría con un apéndice sobre los poliedros platónicos, se preguntaron por qué solo había cinco y trataron de aumentar su número.^[3]​ Petrie comentó: ¿Qué tal si ponemos cuatro cuadrados en torno de una esquina? En la práctica, yacerían sobre un plano, formando un patrón de cuadrados que recubrirían el plano.^[4]​ Siendo ingenioso con las palabras, a esta disposición la llamó "tesseroedro";^[5]​ llamando a la disposición semejante de triángulos, un “trigonoedro”.^[6]​

Poliedros alabeados regulares

Un día de 1926, Petrie le dijo a Coxeter que había descubierto dos nuevos poliedros regulares; infinitos, pero libres de “vértices falsos” (puntos distintos a los vértices, donde se encuentran tres o más caras, como los que caracterizan a los poliedros estrellados regulares): uno que consiste en cuadrados, seis en cada vértice y otro que consiste en hexágonos, cuatro en cada vértice, que forman una pareja dual o recíproca. A la objeción común de que no hay espacio para más de cuatro cuadrados en torno de un vértice, reveló el truco: permitir que las caras se dispongan arriba y abajo marcando un zigzag. Cuando Coxeter comprendió esto, mencionó una tercera posibilidad: hexágonos, seis en torno de un vértice, su propio dual.

Coxeter sugirió un símbolo de Schläfli modificado, {l, m | n} para estas figuras, con el símbolo {l, m} implicando la figura de vértice, m l–gonos en torno de un vértice y agujeros n–gonales. Entonces se les ocurrió que, a pesar de que los nuevos poliedros son infinitos, podrían encontrar poliedros finitos análogos adentrándose en la cuarta dimensión. Petrie citó uno que consiste en n² cuadrados, cuatro en cada vértice. Llamaron a estas figuras “poliedros alabeados regulares”. Más adelante, Coxeter profundizaría en el tema.^[7]​

La universidad y el trabajo

Debido a que su padre pertenecía al University College de Londres, Petrie se matriculó en dicha institución, donde realizó sus estudios sin dificultades. Cuando estalló la Segunda Guerra Mundial, se alistó como oficial y fue capturado como prisionero por los alemanes, organizando un coro durante su cautiverio. Después de que terminara la guerra y fuera liberado, fue a Darlington Hall, una escuela en el suroeste de Inglaterra. Tuvo un trabajo banal, ejerciendo muchos años como maestro de escuela y al parecer nunca culminó su temprana capacidad matemática. Era uno de los tutores que atendían a los niños a los que les iba mal en la escuela.

El polígono de Petrie

Petrie seguía manteniendo correspondencia con Coxeter y fue el primero en notar que, entre las aristas de un poliedro regular, se puede distinguir un polígono alabeado formando un zigzag, en el que la primera y segunda son las aristas de una cara, la segunda y tercera son artistas de otra cara y así, sucesivamente. Se conoce este zigzag como “Polígono de Petrie” y tiene muchas aplicaciones.^[8]​ Se puede definir el polígono de Petrie de un poliedro regular como el polígono alabeado (cuyos vértices no yacen todos en el mismo plano) tal que cada dos lados consecutivos (pero no tres) pertenecen a una de las caras del poliedro.^[9]​

Cada poliedro regular finito puede proyectarse de manera ortogonal sobre un plano de tal suerte que el polígono de Petrie se torna un polígono regular, con el resto de la proyección dentro de este. Estos polígonos y sus gráficas proyectadas son útiles en la visualización de la estructura simétrica de los politopos regulares de dimensiones superiores, los cuales son muy difíciles de concebir o imaginar sin esta ayuda.

Habilidad para el dibujo

Sus habilidades como dibujante pueden apreciarse en un exquisito juego de dibujos del icosaedro estrellado, que proporciona gran parte de la fascinación del tan comentado libro al que ilustra.^[10]​ En otra ocasión, para explicar la simetría del icosaedro, Coxeter mostró una proyección ortogonal, representando 10 de los 15 círculos máximos como elipses. La difícil tarea de dibujo fue realizada por Petrie hacia 1932.^[11]​ Ahora destaca de forma prominente en la cubierta de un popular libro de matemáticas recreativas, aderezada con un toque de color.^[12]​ Se reporta que, en períodos de intensa concentración, podía contestar preguntas acerca de complicadas figuras de la cuarta dimensión “visualizándolas”.^[13]​

Últimos años de vida

Petrie se casó y tuvo una hija. Entonces, a finales de 1972, su esposa sufrió un repentino ataque cardíaco y falleció. La extrañaba tanto y se encontraba tan distraído, que caminó hacia una autopista cerca de su casa y, al intentar cruzarla, fue atropellado por un coche. Murió en Surrey, a la edad de 64 años, apenas dos semanas después que su mujer.

Véase también

• Polígono de Petrie
• Polígono alabeado

Notas

1. Gran parte de lo que sabemos de Petrie se debe a Coxeter. Véase, por ej. Hargittai (2005). «H. S. M. (Donald) Coxeter». Candid science. , pág. 5 et seq.
2. W. H. Auden – ‘Family Ghosts’ «John Flinders Petrie».
3. <Hargittai, op. cit.
4. De hecho, Kepler llamó la atención hacia los tres teselados o embaldosados regulares: {4, 4} (también llamado 4⁴, cuatro cuadrados en torno a un vértice); {3, 6} (también llamado 3⁶, seis triángulos en torno a un vértice); y {6, 3} (también llamado 6³), que pueden considerarse como poliedros regulares con una cantidad infinita de caras. También reconoció dos de los cuatro poliedros estrellados o estelados como regulares: {5/2, 5} (el pequeño dodecaedro estrellado) y {5/2, 3} (el gran dodecaedro estrellado); ambos serán mencionados más adelante. Véase Kepler (1619). Harmonices Mundi (en latín). 
5. Del griego τέσσερα (tessera), el número “4”, a través del latín tessĕra, una baldosa individual en un mosaico. Cf. tésera en el DRAE.
6. Del griego τριγωνον (trígōnon), “triángulo”.
7. Coxeter (1937) Regular skew polyhedra in three and four dimensions, and their topological analogues, Proceedings of the London Mathematical Society. (2) 43, págs. 33−35. Reimpreso, con el permiso de los editores, en Coxeter (1999b).
8. Ball; Coxeter (1987). 'Mathematical recreations and essays.  Cap. v «Polyhedra», sec. The five platonic solids, pág. 135.
9. Coxeter (1973). Regular polytopes.  Cap. ii «Regular and quasi–regular solids», §2·6 Petrie polygons, págs. 24-25.
10. Coxeter; Du Val; Flather; Petrie (1938). The fifty-nine icosahedra. University of Toronto Studies. (Mathematical Series, no. 6). Toronto: University of Toronto Press.  Láminas i−xx, págs. 1−26. Para un libro vuelto a componer, con nuevas láminas y material de referencia adicional y fotografías de K. y D. Crennell, véase Coxeter (1999a).
11. Coxeter (1971). Fundamentos de geometría. México: Editorial Limusa–Wiley.  Cap. 15 «Geometría absoluta», §15.7 El kaleidoscopio poliedral [sic, lo correcto es “poliédrico”], fig. 15.7a. pág. 320. Para una edición más reciente, véase Coxeter (1989).
12. Ball, op. cit.
13. Coxeter (1973). op. cit.  §2·9. Historical remarks, pág. 32.

Referencias

• Ball, W. W. Rouse; Coxeter, H. S. M. (1987). Mathematical recreations and essays (en inglés) (13.ª edición). Nueva York: Dover Publications. ISBN 0-486-25357-0. 
• Coxeter, H. S. M. (1973). Regular polytopes (en inglés) (3.ª edición). Nueva York: Dover Publications. ISBN 0-486-61480-8. 
• Coxeter, H. S. M. (1989). Introduction to geometry. Wiley Classic Library (en inglés). Volumen 19 (2.ª edición). Nueva York: Wiley. ISBN 9780471504580. 
• Coxeter, H. S. M. (1995). Kaleidoscopes: selected writings of H. S. M. Coxeter (en inglés). Introducción y compilación de F. A. Sherk; P. Mullen; A. C. Thompson; Ivić Weiss. Nueva York: Wiley–Interscience Publication. ISBN 9780471010036. 
• Coxeter, H. S. M.; Du Val, P.; Flather, H. T.; Petrie, J. F. (1999a). The fifty–nine icosahedra (en inglés) (3.ª edición). Tarquin. ISBN 9781899618323. 
• Coxeter, H. S. M. (1999b). The beauty of geometry: twelve essays (en inglés). Nueva York: Dover Publications. ISBN 0-486-40919-8. 
• Hargittai, Balazs; Hargittai, István (2005). Candid science v: conversations with famous scientists (en inglés). Londres: Imperial College Press. ISBN 9781860945069. 
• Kepler, Johannes (1997) [Publicado originalmente en 1619]. Harmonices mundi [The harmony or the world] (en latín). Tr. al inglés con introducción y anotaciones por E. J. Aiton; A. M. Duncan; J. V. Field. The American Philosophical Society. ISBN 0-87169-209-0. 
• McMullen, Peter; Schulte, Egon (2002). Abstract regular polytopes (en inglés). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-81496-0. 

Enlaces externos

• Jenkins, Nicholas. «John Flinders Petrie». W. H. Auden – ‘Family Ghosts’ (en inglés). Consultado el 11 de octubre de 2012. 
• Jenkins, Nicholas. «John Flinders Petrie». Kindred Britain (en inglés). Consultado el 18 de julio de 2017. 
• Weisstein, Eric W. «Petrie polygon». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric W. «Skew polygon». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric W. «Regular skew polyhedron». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 

•   Datos: Q5933241