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Potenciación

La potenciación es una operación matemática entre dos términos denominados: base y exponente . Se escribe y se lee normalmente como «a elevado a la n». Hay algunos exponentes especiales como el 2, que se lee al cuadrado, y el 3, que se lee al cubo. Exponentes mayores que el 3 o cubo suelen leerse como elevado a la cuarta, quinta sexta etc. potencia.

Gráfica de varias funciones potencia.

Definición

Se llama potencia a una expresión de la forma  , donde a es denominada base y   denominada exponente. Su definición varía según el conjunto numérico al que pertenezca el exponente. La base se multiplica por sí misma las veces indicadas por el exponente menos 1. Así, para elevar al cuadrado se multiplica una vez, y para elevar al cubo, dos veces.

La potenciación es una operación que consiste en multiplicar por sí mismo un número principal llamado base, tantas veces como lo indique otro número que se llama exponente. En otras palabras: potenciación es la toma de un nümero denominado base como factor tantas veces como lo indique otro número denominado exponente.

Exponente entero

Cuando el exponente es un número natural n, este indica las veces que aparece a multiplicando por sí mismo, siendo a un número cualquiera:

(1) 

Esta definición puede aplicarse tanto a números reales como complejos, así como a otras estructuras algebraicas más abstractas, que pueden ser, por ejemplo, matrices cuadradas.

Multiplicación de potencias de igual base

Se conserva la base y se suman los exponentes; es decir:

 
 

Ejemplos:

 

Potencia de una potencia en matriz cuadrada

La potencia de una potencia en matriz cuadrada es igual a la potencia de base a y cuyo exponente es el producto de ambos exponentes (la misma base y se multiplican los exponentes):

 
 

Debido a esto, la notación   se reserva para significar   ya que   se puede escribir sencillamente como  .

Potencia de un producto

La potencia de un Producto es igual al producto de cada uno de los factores elevado al mismo exponente, es decir:

 
 

Si la base a tiene inverso aditivo, indicado mediante signo negativo -a, entonces se tiene la regla:

  si n es par.

  si n es impar.

 

Si la base a tiene inverso multiplicativo c, es decir c·a = 1 o que  , entonces este se denota por   y el exponente se puede ampliar a todos los números enteros:

(2) 

Observación
 

División de potencias de igual base

El cociente de dos potencias con la misma base es igual a una potencia de dicha base con un exponente igual a la diferencia del exponente del dividendo menos el del divisor,[1]​ esto es:

 
     

De forma extendida aparecen tres casos:    

Ejemplo:

 

Potencia de exponente 0

Por convención, un número distinto de 0 elevado al exponente 0 da como resultado la unidad (1), puesto que:[2][3]

 

El caso particular de   no está definido y es conocido como una indeterminación.

Potencia de un cociente

La potencia de un cociente es igual al cociente de cada uno de los números elevado al mismo exponente.

 
      

O de forma extendida:

 


Si la base a = 0, entonces a no tiene inverso multiplicativo  , por lo que solo se presentan exponentes de números naturales por (1) quedando así prohibida la notación (2) como valor numérico:

 

Exponente racional

La potenciación con exponente racional viene de la necesidad de resolver una ecuación del tipo  , de manera que  , pero se ha de garantizar que dicha x sea un número real y esto solo se puede garantizar para todo n si la base a es un número real positivo, por lo que existe un teorema que dice:

Dado un número real positivo a, este tiene una única raíz n-ésima positiva.

Para notar la raíz se define el uso de fracciones en el exponente:

(3) 

Observación
 

En general para las fracciones se define que:

(4) 

Relación
   
   
     

Propiedades

 
 
 

Exponente real

La potenciación puede extenderse a exponentes reales usando sucesiones racionales; esto se recoge en el siguiente teorema:

Dado un número real positivo a y una sucesión de números racionales   que tiene límite b, entonces existe el límite de la sucesión   que se escribe como:

 

Nótese que las sucesivas aproximaciones de   tienen como exponente números racionales, con lo que para que la definición sea consistente, se exige que a sea un número real positivo.

Análogamente, se puede extender la potenciación a funciones, usando la función exponencial, y su inversa, la función logaritmo natural, en un proceso que se denomina exponenciación. Así, se define

 .

De igual manera, esta es totalmente consistente si el conjunto imagen de   es el conjunto de los números reales positivos  , o algún subconjunto de este, siendo los valores de la función exponente   números reales cualesquiera, debido a que el logaritmo natural no está definido para números negativos.

Propiedades

 
 
 

Exponente complejo

Puede extenderse a exponentes complejos usando funciones analíticas o holomorfas, así   donde det-exp es la determinación de la exponencial y

Resultados de potenciación

Propiedades que no cumple la potenciación

No es distributiva con respecto a la adición y sustracción (véase productos notables), es decir, no se puede distribuir cuando dentro del paréntesis es suma o resta:

 
 

No cumple la propiedad conmutativa:

 

Tampoco cumple la propiedad asociativa:

 

Potencia de base 10

Para las potencias con base 10 y exponente entero, el efecto será desplazar la coma decimal tantas posiciones como indique el exponente, hacia la izquierda si el exponente es negativo, o hacia la derecha si el exponente es positivo.

Ejemplos:

 
 

Las potencias de base 10 se utilizan con frecuencia para expresar números grandes (con muchas cifras) o pequeños (con muchos decimales). Por ejemplo, el número decimal 0,00000123 puede expresarse como  . Esa forma de escribir los números se conoce como notación científica.[4]

Representación gráfica

La representación gráfica de una función potencia f(x) = xn con exponente natural n par tiene una simetría similar a la de una parábola. Su vértice se sitúa en el punto (0, 0) y la curva es decreciente en el segundo cuadrante y creciente en el primero.

La representación gráfica de una función potencia f(x) = xn con exponente natural n impar es una curva con dos ramas unidas en el punto (0, 0), que posee simetría rotacional alrededor de este. El punto de inflexión precisamente se encuentra en el punto (0, 0), la curva es siempre creciente y ocupa el tercer y primer cuadrante.

Dichas curvas son continuas y derivables en todo su dominio de definición.

 
Gráfico de una parábola .  
 
Gráfico de  .  

Límites

Indeterminación 00

El caso especial  se considera indefinido y dependiendo del contexto pueden ser asignados distintos valores dependiendo de las propiedades específicas que se quieran mantener.

Por ejemplo, puede argumentarse que  es el igual al valor del límite

 

y como   para  , dicho valor podría ser igual a 1. Sin embargo también puede considerarse dicha expresión como el valor del límite

 

y como   para  , dicho valor podría ser igual a 0. Esto ilustra que la forma   puede corresponder a diferentes valores y por ello se considera indefinida.

El debate sobre el valor de la forma   tiene casi dos siglos de antigüedad. Durante los primeros días del análisis matemático en que el fundamento formal del cálculo no se había establecido, era común aceptar que  =1. Sin embargo, en 1821 cuando Cauchy publica el Cours d'Analyse de l'École Royale Polytechnique estableciendo el primer tratamiento riguroso del análisis, dicha forma aparece en una tabla de formas indefinidas junto a otras como 0/0. En los años 1830, Libri[5][6]​ publicó un argumento para asignar 1 como valor de   y Möbius[7]​ lo apoyó afirmando erróneamente que

  siempre que  

Sin embargo un comentarista que firmó simplemente como «S» proporcionó un contraejemplo

 

cuyo límite cuando   es  , lo cual calmó el debate con la aparente conclusión del incidente que   debería permanecer indefinida. Se pueden encontrar más detalles en Knuth (1992).[8]

En la actualidad, suele considerarse la forma   como indefinida y no se le asigna valor si no se tiene un contexto en el cual el valor asignado tenga sentido.[9][10][11]

Para calcular límites cuyo valor aparente es   suele usarse la regla de l'Hôpital.

Generalizaciones

Extensión a estructuras abstractas

La definición de potenciación puede extenderse a exponentes reales, complejos o incluso matriciales. Dado un anillo   la operación de potenciación se define como:

 

Esto difiere de la exponenciación que es definible sobre un cuerpo que contenga a los racionales o ciertas álgebras sobre los reales o complejos:

 
 

Obviamente la exponenciación solo se puede definir sobre un conjunto en el que sea posible definir la potenciación, aunque un anillo admitirá siempre la operación de potenciación (con exponente natural) aunque no admita la exponenciación.

Potencia de números complejos

Para cualquiera de los números reales   se tiene la identidad:

 

Véase también

Referencias

  1. Dolciani-Berman-Wooton, Algebra Moderna y Trigonometría. ISBN 968-439-024-6
  2. Soler, Francisco; Nuñez, Reinaldo; Aranda, Moises (2004). «1. Álgebra básica». Fundamentos de Cálculo. Con aplicaciones a ciencias económicas y administrativas (2ª edición). ECOE EDICIONES. p. 14. ISBN 9586482901. 
  3. Weisstein, Eric W. «Exponent Laws». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 
  4. Llopis, José L. «Notación científica». Matesfacil. ISSN 2659-8442. Consultado el 1 de octubre de 2019. 
  5. Guillaume Libri, Note sur les valeurs de la fonction 00x, Journal für die reine und angewandte Mathematik 6 (1830), 67-72.
  6. Guillaume Libri, Mémoire sur les fonctions discontinues, Journal für die reine und angewandte Mathematik 10 (1833), 303-316.
  7. A. F. Möbius, Beweis der Gleichung   = 1, nach J. F. Pfaff, Journal für die reine und angewandte Mathematik 12 (1834), 134-136.
  8. Donald E. Knuth, Two notes on notation, Amer. Math. Monthly 99 no. 5 (May 1992), 403-422.
  9. Peter Alfeld. «Understanding Mathematics» (en inglés). Universidad de Utah. Consultado el 25 de diciembre de 2009. «The problem is similar to that with division by zero. No value can be assigned to 0 to the power 0 without running into contradictions. Thus 0 to the power 0 is undefined!» 
  10. Ask Dr. Math. (18 de marzo de 1997). «Why are Operations of Zero so Strange?» (en inglés). The Math forum. Consultado el 25 de diciembre de 2009. «Other indeterminate forms are 0^0, 1^infinity.» 
  11. Gentile, Enzo R. (1976). Notas de Álgebra I (2a edición). Editorial Universitaria de Buenos Aires. p. 56. «Es útil también definir en el caso x≠0, x0=1. (  queda indefinido).» 

Bibliografía

Enlaces externos

  • Artículo sobre potenciación en Enciclopedia universal en español
  •   Datos: Q33456
  •   Multimedia: Exponentiation

potenciación, potenciación, operación, matemática, entre, términos, denominados, base, displaystyle, exponente, displaystyle, escribe, displaystyle, normalmente, como, elevado, algunos, exponentes, especiales, como, cuadrado, cubo, exponentes, mayores, cubo, s. La potenciacion es una operacion matematica entre dos terminos denominados base a displaystyle a y exponente n displaystyle n Se escribe a n displaystyle a n y se lee normalmente como a elevado a la n Hay algunos exponentes especiales como el 2 que se lee al cuadrado y el 3 que se lee al cubo Exponentes mayores que el 3 o cubo suelen leerse como elevado a la cuarta quinta sexta etc potencia Grafica de varias funciones potencia Indice 1 Definicion 1 1 Exponente entero 1 1 1 Multiplicacion de potencias de igual base 1 1 2 Potencia de una potencia en matriz cuadrada 1 1 3 Potencia de un producto 1 1 4 Division de potencias de igual base 1 1 5 Potencia de exponente 0 1 1 6 Potencia de un cociente 1 2 Exponente racional 1 2 1 Propiedades 1 3 Exponente real 1 3 1 Propiedades 1 4 Exponente complejo 2 Resultados de potenciacion 2 1 Propiedades que no cumple la potenciacion 2 2 Potencia de base 10 3 Representacion grafica 4 Limites 4 1 Indeterminacion 00 5 Generalizaciones 5 1 Extension a estructuras abstractas 5 2 Potencia de numeros complejos 6 Vease tambien 7 Referencias 7 1 Bibliografia 8 Enlaces externosDefinicion EditarSe llama potencia a una expresion de la forma a n displaystyle a n donde a es denominada base y n displaystyle n denominada exponente Su definicion varia segun el conjunto numerico al que pertenezca el exponente La base se multiplica por si misma las veces indicadas por el exponente menos 1 Asi para elevar al cuadrado se multiplica una vez y para elevar al cubo dos veces La potenciacion es una operacion que consiste en multiplicar por si mismo un numero principal llamado base tantas veces como lo indique otro numero que se llama exponente En otras palabras potenciacion es la toma de un numero denominado base como factor tantas veces como lo indique otro numero denominado exponente Exponente entero Editar Cuando el exponente es un numero natural n este indica las veces que aparece a multiplicando por si mismo siendo a un numero cualquiera 1 a 1 a a 2 a a a n a a n veces displaystyle begin array ll a 1 amp a a 2 amp a times a vdots amp vdots a n amp underbrace a times cdots times a n text veces end array Esta definicion puede aplicarse tanto a numeros reales como complejos asi como a otras estructuras algebraicas mas abstractas que pueden ser por ejemplo matrices cuadradas Multiplicacion de potencias de igual base Editar Se conserva la base y se suman los exponentes es decir a n a m a n m displaystyle a n cdot a m a n m a n a m a a n a a m n m a n m displaystyle a n times a m underbrace underbrace a times cdots times a n times underbrace a times cdots times a m n m a n m Ejemplos 9 3 9 2 9 3 2 9 5 displaystyle 9 3 cdot 9 2 9 3 2 9 5 Potencia de una potencia en matriz cuadrada Editar La potencia de una potencia en matriz cuadrada es igual a la potencia de base a y cuyo exponente es el producto de ambos exponentes la misma base y se multiplican los exponentes a m n a m n displaystyle a m n a m cdot n a m n a a m n n a a a a m a m n displaystyle a m n underbrace a times cdots times a m n n begin cases underbrace begin matrix a times amp cdots amp times a times vdots amp amp vdots a times amp cdots amp times a end matrix m end cases a m cdot n Debido a esto la notacion a b c displaystyle a b c se reserva para significar a b c displaystyle a b c ya que a b c displaystyle a b c se puede escribir sencillamente como a b c displaystyle a bc Potencia de un producto Editar La potencia de un Producto es igual al producto de cada uno de los factores elevado al mismo exponente es decir a b n a n b n displaystyle a cdot b n a n cdot b n a b n n a b a b a n b n displaystyle a times b n n begin cases begin matrix a times b times vdots a times b end matrix end cases a n times b n Si la base a tiene inverso aditivo indicado mediante signo negativo a entonces se tiene la regla a n a n displaystyle a n a n si n es par a n a n displaystyle a n a n si n es impar a 1 a a 2 a a a 2 a 3 a a a 2 a a 3 a n a a a a n par a n a n a a a a n 1 par por tanto es a n 1 a n impar a n displaystyle begin array ll a 1 amp a a 2 amp a times a a 2 a 3 amp underbrace a times a a 2 times a a 3 vdots amp a n amp underbrace a times a times cdots times a times a n text par a n a n amp underbrace underbrace a times a times cdots times a times a n 1 text par por tanto es a n 1 times a n text impar a n end array Si la base a tiene inverso multiplicativo c es decir c a 1 o que c 1 a displaystyle c frac 1 a entonces este se denota por a 1 displaystyle a 1 y el exponente se puede ampliar a todos los numeros enteros 2 a 1 1 a a n 1 a n displaystyle begin array l a 1 frac 1 a a n frac 1 a n end array Observacion a n a 1 n 1 a 1 a n 1 a a n 1 a n displaystyle a n a 1 n underbrace frac 1 a times cdots times frac 1 a n frac 1 underbrace a times cdots times a n frac 1 a n Division de potencias de igual base Editar El cociente de dos potencias con la misma base es igual a una potencia de dicha base con un exponente igual a la diferencia del exponente del dividendo menos el del divisor 1 esto es a m a n a m n displaystyle frac a m a n a m n a m a n a m a n displaystyle frac a m a n a m cdot a n a m n displaystyle a m n a m n displaystyle a m n De forma extendida aparecen tres casos a a m a a n displaystyle frac overbrace a times cdots times a m underbrace a times cdots times a n a a n a a m n a a n a m n Si m gt n a a m a a n 1 Si m n a a m a a m a a n m 1 a n m Si m lt n displaystyle begin cases begin matrix frac overbrace cancel a times cdots times cancel a n times overbrace a times cdots times a m n underbrace cancel a times cdots times cancel a n a m n amp text Si m gt n frac overbrace cancel a times cdots times cancel a m underbrace cancel a times cdots times cancel a n 1 amp text Si m n frac overbrace cancel a times cdots times cancel a m underbrace cancel a times cdots times cancel a m times underbrace a times cdots times a n m frac 1 a n m amp text Si m lt n end matrix end cases Ejemplo 9 5 9 3 9 5 3 9 2 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quedando asi prohibida la notacion 2 como valor numerico 0 1 0 displaystyle 0 1 0 Exponente racional Editar Articulo principal Radicacion La potenciacion con exponente racional viene de la necesidad de resolver una ecuacion del tipo x n a displaystyle x n a de manera que x a n displaystyle x sqrt n a pero se ha de garantizar que dicha x sea un numero real y esto solo se puede garantizar para todo n si la base a es un numero real positivo por lo que existe un teorema que dice Dado un numero real positivo a este tiene una unica raiz n esima positiva Para notar la raiz se define el uso de fracciones en el exponente 3 a 1 n a n displaystyle a frac 1 n sqrt n a Observacion a 1 n n a 1 n n a 1 a displaystyle left a frac 1 n right n a frac 1 n cdot n a 1 a En general para las fracciones se define que 4 a n m a n m a n m 1 a n m displaystyle begin array ll a frac n m amp sqrt m a n a frac n m amp frac 1 a frac n m end array Relaciona n 1 m 1 a n 2 m 2 displaystyle a frac n 1 m 1 a frac n 2 m 2 Leftrightarrow n 1 m 1 n 2 m 2 displaystyle frac n 1 m 1 frac n 2 m 2 n 1 m 1 n 2 m 2 displaystyle frac n 1 m 1 frac n 2 m 2 Rightarrow n 1 m 2 n 2 m 1 displaystyle n 1 cdot m 2 n 2 cdot m 1 a n 1 m 1 a n 2 m 2 displaystyle a frac n 1 m 1 a frac n 2 m 2 Leftrightarrow a n 1 m 1 m 1 m 2 a n 2 m 2 m 1 m 2 displaystyle left a frac n 1 m 1 right m 1 cdot m 2 left a frac n 2 m 2 right m 1 cdot m 2 Leftrightarrow a n 1 m 2 a m 1 n 2 displaystyle a n 1 cdot m 2 a m 1 cdot n 2 Propiedades Editar a n 1 m 1 a n 2 m 2 a n 1 m 1 n 2 m 2 displaystyle a frac n 1 m 1 cdot a frac n 2 m 2 a frac n 1 m 1 frac n 2 m 2 a n 1 m 1 n 2 m 2 a n 1 m 1 n 2 m 2 displaystyle left a frac n 1 m 1 right frac n 2 m 2 a frac n 1 m 1 cdot frac n 2 m 2 a b n m a n m b n m displaystyle a cdot b frac n m a frac n m cdot b frac n m Exponente real Editar Articulos principales Exponenciaciony Logaritmo La potenciacion puede extenderse a exponentes reales usando sucesiones racionales esto se recoge en el siguiente teorema Dado un numero real positivo a y una sucesion de numeros racionales q n displaystyle q n que tiene limite b entonces existe el limite de la sucesion a q n displaystyle a q n que se escribe como a b lim n a q n displaystyle a b lim n to infty a q n Notese que las sucesivas aproximaciones de a n displaystyle a n tienen como exponente numeros racionales con lo que para que la definicion sea consistente se exige que a sea un numero real positivo Analogamente se puede extender la potenciacion a funciones usando la funcion exponencial y su inversa la funcion logaritmo natural en un proceso que se denomina exponenciacion Asi se define f x g x e g x ln f x displaystyle f x g x e g x ln f x De igual manera esta es totalmente consistente si el conjunto imagen de f x displaystyle f x es el conjunto de los numeros reales positivos R displaystyle mathbb R o algun subconjunto de este siendo los valores de la funcion exponente f x displaystyle f x numeros reales cualesquiera debido a que el logaritmo natural no esta definido para numeros negativos Propiedades Editar a b a c a b c displaystyle a b cdot a c a b c a b c a b c displaystyle left a b right c a b cdot c a b c a c b c displaystyle a cdot b c a c cdot b c Exponente complejo Editar Puede extenderse a exponentes complejos usando funciones analiticas o holomorfas asi a b det exp b det log a displaystyle a b mbox det exp b cdot mbox det log a donde det exp es la determinacion de la exponencial yResultados de potenciacion EditarPropiedades que no cumple la potenciacion Editar No es distributiva con respecto a la adicion y sustraccion vease productos notables es decir no se puede distribuir cuando dentro del parentesis es suma o resta a b m a m b m displaystyle a b m neq a m b m a b m a m b m displaystyle a b m neq a m b m No cumple la propiedad conmutativa a b b a displaystyle a b neq b a Tampoco cumple la propiedad asociativa a b c a b c a b c a b c a b c displaystyle a b c a b c neq a b c a b cdot c a bc Potencia de base 10 Editar Articulo principal Notacion cientifica Para las potencias con base 10 y exponente entero el efecto sera desplazar la coma decimal tantas posiciones como indique el exponente hacia la izquierda si el exponente es negativo o hacia la derecha si el exponente es positivo Ejemplos 10 6 0 000001 10 5 0 00001 10 4 0 0001 10 3 0 001 10 2 0 01 10 1 0 1 displaystyle begin array lcl 10 6 amp amp 0 000001 10 5 amp amp 0 00001 10 4 amp amp 0 0001 10 3 amp amp 0 001 10 2 amp amp 0 01 10 1 amp amp 0 1 end array 10 0 1 10 1 10 10 2 100 10 3 1 000 10 4 10 000 10 5 100 000 10 6 1 000 000 displaystyle begin array lcr 10 0 amp amp 1 10 1 amp amp 10 10 2 amp amp 100 10 3 amp amp 1 000 10 4 amp amp 10 000 10 5 amp amp 100 000 10 6 amp amp 1 000 000 end array Las potencias de base 10 se utilizan con frecuencia para expresar numeros grandes con muchas cifras o pequenos con muchos decimales Por ejemplo el numero decimal 0 00000123 puede expresarse como 123 10 8 displaystyle 123 cdot 10 8 Esa forma de escribir los numeros se conoce como notacion cientifica 4 Representacion grafica EditarLa representacion grafica de una funcion potencia f x xn con exponente natural n par tiene una simetria similar a la de una parabola Su vertice se situa en el punto 0 0 y la curva es decreciente en el segundo cuadrante y creciente en el primero La representacion grafica de una funcion potencia f x xn con exponente natural n impar es una curva con dos ramas unidas en el punto 0 0 que posee simetria rotacional alrededor de este El punto de inflexion precisamente se encuentra en el punto 0 0 la curva es siempre creciente y ocupa el tercer y primer cuadrante Dichas curvas son continuas y derivables en todo su dominio de definicion Grafico de una parabolay x 2 displaystyle y x 2 Grafico de y x 3 displaystyle y x 3 Limites EditarIndeterminacion 00 Editar El caso especial 0 0 displaystyle 0 0 se considera indefinido y dependiendo del contexto pueden ser asignados distintos valores dependiendo de las propiedades especificas que se quieran mantener Por ejemplo puede argumentarse que 0 0 displaystyle 0 0 es el igual al valor del limite lim x 0 x 0 displaystyle lim x to 0 x 0 y como x 0 1 displaystyle x 0 1 para x 0 displaystyle x neq 0 dicho valor podria ser igual a 1 Sin embargo tambien puede considerarse dicha expresion como el valor del limite lim x 0 0 x displaystyle lim x to 0 0 x y como 0 x 0 displaystyle 0 x 0 para x 0 displaystyle x neq 0 dicho valor podria ser igual a 0 Esto ilustra que la forma 0 0 displaystyle 0 0 puede corresponder a diferentes valores y por ello se considera indefinida El debate sobre el valor de la forma 0 0 displaystyle 0 0 tiene casi dos siglos de antiguedad Durante los primeros dias del analisis matematico en que el fundamento formal del calculo no se habia establecido era comun aceptar que 0 0 displaystyle 0 0 1 Sin embargo en 1821 cuando Cauchy publica el Cours d Analyse de l Ecole Royale Polytechnique estableciendo el primer tratamiento riguroso del analisis dicha forma aparece en una tabla de formas indefinidas junto a otras como 0 0 En los anos 1830 Libri 5 6 publico un argumento para asignar 1 como valor de 0 0 displaystyle 0 0 y Mobius 7 lo apoyo afirmando erroneamente que lim t 0 f t g t 1 displaystyle lim t to 0 f t g t 1 siempre que lim t 0 f t lim t 0 g t 0 displaystyle lim t to 0 f t lim t to 0 g t 0 Sin embargo un comentarista que firmo simplemente como S proporciono un contraejemplo f t g t e 1 t t displaystyle f t g t e 1 t t cuyo limite cuando t 0 displaystyle t to 0 es 1 e displaystyle 1 e lo cual calmo el debate con la aparente conclusion del incidente que 0 0 displaystyle 0 0 deberia permanecer indefinida Se pueden encontrar mas detalles en Knuth 1992 8 En la actualidad suele considerarse la forma 0 0 displaystyle 0 0 como indefinida y no se le asigna valor si no se tiene un contexto en el cual el valor asignado tenga sentido 9 10 11 Para calcular limites cuyo valor aparente es 0 0 displaystyle 0 0 suele usarse la regla de l Hopital Generalizaciones EditarExtension a estructuras abstractas Editar La definicion de potenciacion puede extenderse a exponentes reales complejos o incluso matriciales Dado un anillo A displaystyle scriptstyle mathbb A cdot la operacion de potenciacion se define como P o t A N A x n y P o t x n x n displaystyle begin array rccl mathrm Pot amp mathbb A times mathbb N amp longrightarrow amp mathbb A amp x n amp longrightarrow amp y mathrm Pot x n x n end array Esto difiere de la exponenciacion que es definible sobre un cuerpo que contenga a los racionales o ciertas algebras sobre los reales o complejos E x p A A x y E x p x e x displaystyle begin array rccl mathrm Exp amp mathbb A amp longrightarrow amp mathbb A amp x amp longrightarrow amp y mathrm Exp x e x end array E x p x k 0 x k k displaystyle mathrm Exp x sum k 0 infty frac x k k Obviamente la exponenciacion solo se puede definir sobre un conjunto en el que sea posible definir la potenciacion aunque un anillo admitira siempre la operacion de potenciacion con exponente natural aunque no admita la exponenciacion Potencia de numeros complejos Editar Articulo principal Formula de De Moivre Para cualquiera de los numeros reales a b c d displaystyle a b c d se tiene la identidad a e i b c e i d a c cos d e i c log a sin d b c cos d b c sin d displaystyle left a e i b right left c e i d right a c cos d e i left c log a sin d b c cos d right b c sin d Vease tambien EditarProductos notables Raiz cuadrada Radicacion Formula de De Moivre para potencias de numeros complejos Potencia de dos Serie de potencias LogaritmoReferencias Editar Dolciani Berman Wooton Algebra Moderna y Trigonometria ISBN 968 439 024 6 Soler Francisco Nunez Reinaldo Aranda Moises 2004 1 Algebra basica Fundamentos de Calculo Con aplicaciones a ciencias economicas y administrativas 2ª edicion ECOE EDICIONES p 14 ISBN 9586482901 Weisstein Eric W Exponent Laws En Weisstein Eric W ed MathWorld en ingles Wolfram Research Llopis Jose L Notacion cientifica Matesfacil ISSN 2659 8442 Consultado el 1 de octubre de 2019 Guillaume Libri Note sur les valeurs de la fonction 00x Journal fur die reine und angewandte Mathematik 6 1830 67 72 Guillaume Libri Memoire sur les fonctions discontinues Journal fur die reine und angewandte Mathematik 10 1833 303 316 A F Mobius Beweis der Gleichung 0 0 displaystyle 0 0 1 nach J F Pfaff Journal fur die reine und angewandte Mathematik 12 1834 134 136 Donald E Knuth Two notes on notation Amer Math Monthly 99 no 5 May 1992 403 422 Peter Alfeld Understanding Mathematics en ingles Universidad de Utah Consultado el 25 de diciembre de 2009 The problem is similar to that with division by zero No value can be assigned to 0 to the power 0 without running into contradictions Thus 0 to the power 0 is undefined Ask Dr Math 18 de marzo de 1997 Why are Operations of Zero so Strange en ingles The Math forum Consultado el 25 de diciembre de 2009 Other indeterminate forms are 0 0 1 infinity Gentile Enzo R 1976 Notas de Algebra I 2a edicion Editorial Universitaria de Buenos Aires p 56 Es util tambien definir en el caso x 0 x0 1 0 0 displaystyle 0 0 queda indefinido fechaacceso requiere url ayuda Bibliografia Editar Ortega Joaquin M 1993 Potencias de base real positiva y exponente real Introduccion al analisis matematico Barcelona Universidad Autonoma de Barcelona Labor pp 51 54 ISBN 978 8 433 53047 9 OCLC 37802457 Enlaces externos EditarArticulo sobre potenciacion en Enciclopedia universal en espanol Datos Q33456 Multimedia ExponentiationObtenido de https es wikipedia org w index php title Potenciacion amp oldid 137195833, wikipedia, wiki, leyendo, leer, libro, biblioteca,

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