Complejo de cadenas

En álgebra abstracta un conjunto ${\displaystyle \{A_{i},\,\delta _{i}\}}$ consistente en estructuras algebraicas ${\displaystyle A_{i}}$ (ya sea grupos abelianos o anillos o módulos o espacios vectoriales) y ${\displaystyle \delta _{i}}$ morfismos (según sea la categoría), se llama complejo de cadenas si la construcción

${\displaystyle \ldots \to A_{n+1}{\begin{matrix}\delta _{n+1}\\\to \\\,\end{matrix}}A_{n}{\begin{matrix}\delta _{n}\\\to \\\,\end{matrix}}A_{n-1}\to \ldots }$

satisface ${\displaystyle \delta _{n}\circ \delta _{n+1}=0\,}$. Esta última condición implica ${\displaystyle \operatorname {im} \delta _{n+1}\subseteq \ker \delta _{n}\,}$ para toda ${\displaystyle n}$. Este concepto es clave para entender lo que es la homología.

Notación

El símbolo ${\displaystyle A_{\bullet }}$  se utiliza para designar al par ${\displaystyle \{A_{i},\,\delta _{i}\}}$ .

La homología

A las estructuras cociente

${\displaystyle H_{n}(A_{\bullet })={\frac {\ker \delta _{n}}{{\rm {im\,}}\delta _{n+1}}}\,}$ 

se les llama grupos de homología del complejo de cadenas ${\displaystyle A_{\bullet }}$ 

Esta última construcción es muy importante en la topología algebraica, pues conforma una de sus principales herramientas.

Morfismo entre cadenas

 

cadeno-morfismo ${\displaystyle f_{\bullet }=\{f_{i}\}}$ .

Un morfismo (de grado cero) entre dos complejos ${\displaystyle A_{\bullet }=\{A_{q},\,\delta _{q}\}}$  y ${\displaystyle B_{\bullet }=\{B_{q},\,\gamma _{q}\}}$  es un conjunto ${\displaystyle f_{\bullet }=\{f_{q}\}}$  de morfismos entre las estructuras algebraicas ${\displaystyle A_{q}{\stackrel {f_{q}}{\to }}B_{q}}$  tales que ${\displaystyle f_{q}\circ \delta _{q+1}=\gamma _{q+1}\circ f_{q+1}}$ . Simbólicamente ${\displaystyle f_{\bullet }\colon A_{\bullet }\to B_{\bullet }}$  indica lo mismo.

Un morfismo de grado d corresponde a una familia de morfismos ${\displaystyle A_{q}{\stackrel {g_{q}}{\to }}B_{q-d}}$  con la misma propiedad ${\displaystyle g_{q}\circ \delta _{q+1}=\gamma _{q+1}\circ g_{q+1}}$ 

Como categoría

Desde el punto de vista de teoría de categorías tenemos la categoría de complejos de cadenas y los cadeno-morfismos. Una utilización de ésta consideración es que las principales teorías de la topología algebraica tales como la homología, cohomología y la homotopía son verdaderos functores que asignan -por ejemplo la homología- a un par topológico ${\displaystyle (X,A)}$  una familia de grupos abelianos ${\displaystyle \{H_{n}(X,A)\}}$  que formarán una complejo de cadenas ${\displaystyle \cdots \to H_{i}(A)\to H_{i}(X)\to H_{i}(X,A)\to H_{i-1}(A)\to \cdots }$  y donde un mapeo continuo ${\displaystyle f\colon (X,B)\to (Y,B)}$  entre pares topológicos induce un conjunto de morfismos ${\displaystyle f_{\#}\colon H_{i}(A)\to H_{i}(B)}$ , ${\displaystyle f_{\#}\colon H_{i}(X)\to H_{i}(Y)}$  y ${\displaystyle f_{\#}\colon H_{i}(X,A)\to H_{i}(Y,B)}$  con las propiedades suficientes para así considerarle como un cadeno-morfismo.

Referencia

Bibliografía

• Jean Dieudonné, A History of Algebraic and Differential Topology 1900-1960, Birkhäuser, 1989. ISBN 0-8176-3388-X, ISBN 3-7643-3388-X

Véase también

• functores
• cohomología.

•   Datos: Q1143328