Función compuesta

En álgebra abstracta, una función compuesta es una función formada por la composición o aplicación sucesiva de otras dos funciones. Para ello, se aplica sobre el argumento la función más próxima al mismo, y al resultado del cálculo anterior se le aplica finalmente la función restante.

g ∘ f, es la aplicación resultante de la aplicación sucesiva de f y de g. En el ejemplo, (g ∘ f)(a)=@.

Usando la notación matemática, la función compuesta g ∘ f: X → Z expresa que (g ∘ f)(x) = g[f(x)] para todo x perteneciente a X. Se lee "g círculo f" o "g en f" o "f entonces g" o "g de f".

Definición

De manera formal, dadas dos funciones:

${\displaystyle {\begin{array}{rccl}f:&X&\longrightarrow &Y\\&x&\longmapsto &y=f(x)\end{array}}}$ 

y

${\displaystyle {\begin{array}{rccl}g:&Y&\longrightarrow &Z\\&y&\longmapsto &z=g(y)\end{array}}}$ 

donde la imagen de f está contenida en el dominio de g, se define la función composición de f y g. (nótese que las funciones se nombran en el orden de aplicación a la variable, no en el orden sucesivo de representación):

${\displaystyle {\begin{array}{rccl}(g\circ f):&X&\longrightarrow &Z\\&x&\longmapsto &z=g(f(x))\end{array}}}$ 

A todos los elementos de X se le asocia una elemento de Z según: ${\displaystyle z=g(f(x))}$ .

${\displaystyle {\begin{array}{rclcl}X&\longrightarrow &Y&\longrightarrow &Z\\x&\longmapsto &y=f(x)&\longmapsto &z=g(f(x))\end{array}}}$ 

También se puede representar de manera gráfica usando la categoría de conjuntos, mediante un diagrama conmutativo:

 

Propiedades

• La composición de funciones es asociativa, es decir:

${\displaystyle h\circ (g\circ f)=(h\circ g)\circ f}$ 

• La composición de funciones en general no es conmutativa, es decir:

${\displaystyle (g\circ f)\neq (f\circ g)}$ 

Por ejemplo, dadas las funciones numéricas f(x)=x+1 y g(x)=x², entonces f(g(x))=x²+1, en tanto que g(f(x))=(x+1)².

• El elemento neutro asociado a la composición de funciones es la función identidad.

• Con las tres propiedades anteriores: asociativa, no conmutativa y elemento neutro, las funciones reales de variable real constituyen un monoide para la operación interna de composición de funciones.

• Además, la inversa de la composición de dos funciones es:

${\displaystyle (g\circ f)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}}$ 

Ejemplo

Sean las funciones:

${\displaystyle f(x)=x^{2}\,}$ 

${\displaystyle g(x)=\sin(x)\,}$ 

La función compuesta de g y de f que expresamos:

${\displaystyle (g\circ f)(x)=g(f(x))=g((x^{2}))=\sin(x^{2})\,}$ 

La interpretación de (f ∘ g) aplicada a la variable x significa que primero tenemos que aplicar g a x, con lo que obtendríamos un valor de paso

${\displaystyle z=g(x)=\sin(x)\,}$ 

y después aplicamos f a z para obtener

${\displaystyle y=f(z)=z^{2}=\sin ^{2}(x)\,}$ 

Función bien definida

La función compuesta está bien definida porque cumple con las dos condiciones de existencia y unicidad, propias de toda función:

1. Condición de existencia: dado x, conocemos (x, f(x)), puesto que conocemos la función f, y dado cualquier elemento y de B conocemos también (y, g(y)), puesto que conocemos la función g. Por tanto, (x, g( f(x)) ) está definido para todo x, y así (g ∘ f) cumple la condición de existencia.
2. Condición de unicidad: como f y g son funciones bien definidas, para cada x el valor de f(x) es único, y para cada f(x) también lo es el de g(f(x)).

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. «Composition». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 
• "Composition of Functions" by Bruce Atwood, the Wolfram Demonstrations Project, 2007.

•   Datos: Q244761
•   Multimedia: Composition (mappings)