Espacio de probabilidad

En teoría de probabilidades, un espacio probabilístico o espacio de probabilidad es un concepto matemático que sirve para modelar un cierto experimento aleatorio.

El concepto de espacio de probabilidad fue introducido en la teoría de la probabilidad, por Andréi Kolmogórov en 1933.

Definición

Un espacio de probabilidad es la terna ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {P} )}$  donde el conjunto ${\displaystyle \Omega }$  es llamado espacio muestral y es el conjunto de los posibles resultados del experimento, ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$  es una σ-álgebra de subconjuntos de ${\displaystyle \Omega }$  que satisface

1. ${\displaystyle \Omega \in {\mathcal {F}}}$ .
2. Si ${\displaystyle A\in {\mathcal {F}}}$  entonces ${\displaystyle A^{c}\in {\mathcal {F}}}$ .
3. Si ${\displaystyle A_{1},A_{2},\dots ,A_{n}\in {\mathcal {F}}}$  entonces ${\displaystyle A_{1}\cup A_{2}\cup \cdots \cup A_{n}\in {\mathcal {F}}}$ .

Al par ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}})}$  se le conoce como un espacio de medida. Por último, ${\displaystyle \operatorname {P} :{\mathcal {F}}\to [0,1]}$  es una función conocida como medida de probabilidad o función de probabilidad que asigna una probabilidad a todo suceso y que verifica los llamados axiomas de Kolmogorov:^[1]​

1. ${\displaystyle \operatorname {P} (\Omega )=1}$ .
2. ${\displaystyle \operatorname {P} (A)\geq 0}$ , ${\displaystyle \forall \;A\in {\mathcal {F}}}$ .
3. Si ${\displaystyle A_{1},A_{2},\dots ,A_{n}\in {\mathcal {F}}}$  y ${\displaystyle A_{i}\cap A_{j}=\emptyset }$  para ${\displaystyle i\neq j}$  entonces

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {P} \left(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right)&=\sum _{i=1}^{n}\operatorname {P} [A_{i}]\\&=\operatorname {P} [A_{1}]+\operatorname {P} [A_{2}]+\cdots +\operatorname {P} [A_{n}]\end{aligned}}}$ 

Consecuencias

A partir de los axiomas se deduce lo siguiente

Sean ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {F}}}$  entonces ${\displaystyle \operatorname {P} [A\cup B]=\operatorname {P} [A]+\operatorname {P} [B]-\operatorname {P} [A\cap B]}$ .

Además

${\displaystyle \operatorname {P} (\emptyset )=1-\operatorname {P} (\Omega )=0}$ 

Es decir que la probabilidad de que se presente el conjunto vacío ${\displaystyle \emptyset }$  es 0.

Y si ${\displaystyle A_{1},A_{2},\dots ,A_{n}\in {\mathcal {F}}}$  entonces

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {P} \left(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right)\leq \sum _{i=1}^{n}\operatorname {P} [A_{i}]\end{aligned}}}$ 

Véase también

• Variable aleatoria
• Proceso estocástico

Referencias

1. «Axiomas de probabilidad» |url= incorrecta con autorreferencia (ayuda). Wikipedia, la enciclopedia libre. 12 de junio de 2021. Consultado el 27 de agosto de 2021. 

• Dagum, Camilo y Estela M. Bee de Dagum(1971) Introducción a la Econometría: 76-77. México: Siglo XXI editores, séptima edición, 1980.
• Kolmogórov, Andréi Nikoláyevich (1950) . New York: Chelsea Publishin Company, second english edition, 1956.
• Kolmogórov, Andréi Nikoláyevich (1933) "Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitrechnung"; Ergebnisse der Mathematik, Berlín. (en alemán)

•   Datos: Q623472