Las dos primeras propiedades nos indican que forman una combinación convexa. La modificación por escala y traslación de intervalo no influye sobre los coeficientes del polinomio en cuestión. Se ha de notar la gran semejanza de estos polinomios con la distribución binomial.
Para el intervalo existe esta fórmula de recurrencia:
.
Ejemplo
En el caso de un polinomio de orden la base en está compuesta de:
Un polinomio expresado en esta base tendría entonces la forma:
Aproximación de Bernstein, permite aproximar uniformemente funciones continuas.
Datos:Q826841
Multimedia:Bernstein polynomials
Abril 15, 2022
polinomio, bernstein, polinomios, bernstein, polinomios, base, bernstein, clase, particular, polinomios, campo, números, reales, utilizados, dentro, ámbito, análisis, numérico, nombre, hace, referencia, matemático, ucraniano, sergei, natanovich, bernstein, alg. Los polinomios de Bernstein o polinomios en la base de Bernstein son una clase particular de polinomios en el campo de los numeros reales que son utilizados dentro del ambito del analisis numerico El nombre hace referencia al matematico ucraniano Sergei Natanovich Bernstein El algoritmo de evaluacion mas numericamente estable es el de De Casteljau Indice 1 Definicion 2 Propiedades 3 Ejemplo 4 Aplicaciones 5 Vease tambienDefinicion EditarUn polinomio de Bernstein P x displaystyle P x de orden n aproxima una funcion f x displaystyle f x en un intervalo mejor cuanto mayor sea n a partir de esta formula P x i 0 n c i B i n x displaystyle P x sum i 0 n c i B i n x donde los B i n x displaystyle B i n x son elementos de la distribucion binomial respecto de la variable x displaystyle x y los c i displaystyle c i son valores de la funcion que queremos aproximar Para aproximar la funcion en el intervalo 0 1 displaystyle 0 1 estos elementos toman los siguientes valores c i f i n y B i n x n i x i 1 x n i displaystyle c i f left frac i n right qquad text y qquad B i n x n choose i x i 1 x n i aqui n i displaystyle n choose i es el coeficiente binomial y mas en general transformando las ecuaciones para un intervalo a b displaystyle a b los B i n x a b displaystyle B i n x a b se convierten en polinomios de la base de Bernstein c i f i b a n a y B i n x a b n i x a i b x n i b a n displaystyle c i f left i frac b a n a right qquad text y qquad B i n x a b n choose i x a i b x n i over b a n Asi la formula general desarrollada es P x i 0 n f i b a n a n i n i x a i b x n i b a n displaystyle P x sum i 0 n f left i frac b a n a right frac n i n i frac x a i b x n i b a n Propiedades Editar Polinomios de Bernstein de grado 3 Para un grado n existen n 1 polinomios de Bernstein B 0 n B n n displaystyle B 0 n dots B n n definidos sobre el intervalo a b displaystyle a b por B i n x a b n i x a i b x n i b a n displaystyle B i n x a b n choose i x a i b x n i over b a n Estos polinomios presentan estas propiedades importantes que cumplen para cualquier valor de x displaystyle x en el intervalo a b displaystyle a b Particion de la unidad i 0 n B i n x 1 displaystyle qquad sum i 0 n B i n x 1 Positividad B i n x 0 i 0 n displaystyle B i n x geq 0 qquad forall i in 0 dots n Simetria B i n x B n i n 1 x i 0 n displaystyle B i n x B n i n 1 x qquad forall i in 0 dots n Las dos primeras propiedades nos indican que forman una combinacion convexa La modificacion por escala y traslacion de intervalo no influye sobre los coeficientes del polinomio en cuestion Se ha de notar la gran semejanza de estos polinomios con la distribucion binomial Para el intervalo 0 1 displaystyle 0 1 existe esta formula de recurrencia B i n x 1 x B i n 1 x i 0 1 x B i n 1 x x B i 1 n 1 x i 1 n 1 x B i 1 n 1 x i n displaystyle B i n x begin cases 1 x B i n 1 x amp i 0 1 x B i n 1 x xB i 1 n 1 x amp i 1 dots n 1 xB i 1 n 1 x amp i n end cases Ejemplo EditarEn el caso de un polinomio de orden 2 displaystyle 2 la base en 0 1 displaystyle 0 1 esta compuesta de B 0 2 x 2 0 x 0 1 x 2 0 1 x 2 displaystyle B 0 2 x 2 choose 0 x 0 1 x 2 0 1 x 2 B 1 2 x 2 1 x 1 1 x 2 1 2 x 1 x displaystyle B 1 2 x 2 choose 1 x 1 1 x 2 1 2x 1 x B 2 2 x 2 2 x 2 1 x 2 2 x 2 displaystyle B 2 2 x 2 choose 2 x 2 1 x 2 2 x 2 Un polinomio expresado en esta base tendria entonces la forma P x c 0 B 0 2 x c 1 B 1 2 x c 2 B 2 2 x f 0 1 x 2 2 f 1 2 x 1 x f 1 x 2 displaystyle P x c 0 B 0 2 x c 1 B 1 2 x c 2 B 2 2 x f 0 1 x 2 2f left frac 1 2 right x 1 x f 1 x 2 Si aproximamos f 1 x x displaystyle f 1 x x obtenemos el mismo polinomio P 1 x x displaystyle P 1 x x si evaluamos f 2 x x 2 displaystyle f 2 x x 2 aproxima a P 2 x x 2 x 2 displaystyle P 2 x frac x 2 x 2 y probando con f 3 x e x displaystyle f 3 x e x resulta P 3 x 1 x 2 2 e x 1 x e x 2 0 421 x 2 1 29 x 1 displaystyle P 3 x 1 x 2 2 sqrt e x 1 x ex 2 approx 0 421x 2 1 29x 1 Aplicaciones EditarLos polinomios de Bernstein son utilizados para demostrar el teorema de aproximacion de Weierstrass y por esto son tambien utilizados para efectuar aproximaciones e interpolaciones de funciones como por ejemplo la curva de Bezier asi como para la estimacion de las funciones de densidad de probabilidad Para n que tiende al infinito el polinomio converge uniformamente hacia la funcion f x o sea B n x f x 5 4 w f 1 n displaystyle B n x f x leq 5 4 omega f 1 sqrt n donde w f d sup h d f x h f x displaystyle omega f delta sup h leq delta f x h f x llamado modulo de continuidad Vease tambien EditarAlgoritmo de De Casteljau Curva de Bezier Aproximacion de Bernstein permite aproximar uniformemente funciones continuas Datos Q826841 Multimedia Bernstein polynomials Obtenido de https es wikipedia org w index php title Polinomio de Bernstein amp oldid 119552186, wikipedia, wiki, leyendo, leer, libro, biblioteca,