En matemáticas, una forma bilineal sobre un espacio vectorial es una aplicación bilineal , donde es el cuerpo de escalares. En otras palabras, una forma bilineal es una función que asocia un escalar a cada par de vectores, tal que es lineal en cada uno de sus argumentos por separado.[1]
Cuando es el cuerpo de números complejos, es más interesante hablar de formas sesquilineales, que son similares a las formas bilineales, pero son conjugadas lineales en un argumento.
También se puede definir una forma bilineal como un caso particular de una forma multilineal, en particular como un tensor de tipo (2, 0).
Ejemplos
El producto escalar en el espacio euclideo es una forma bilineal. En particular, dados dos vectores en el plano bidimensional de la forma y , su producto escalar viene dado por:
que se puede verificar que es una forma bilineal.
El determinante de una matriz cuadrada de dimensión dos es una forma bilineal, con respecto a los vectores columna de la matriz. Dados dos vectores en el plano bidimensional , y , y sea
se define
denotado más comúnmente por
.
Propiedades
De la definición se tienen las siguientes propiedades:
para todo y
Forma bilineal simétrica y antisimétrica
Una forma bilineal puede tener un comportamiento especialmente simple frente al intercambio de los argumentos; aún en el caso de que no lo tenga, se puede descomponer de manera única en dos formas bilineales que sí lo tienen.
Forma bilineal simétrica
Una forma bilineal simétrica es aquella que es conmutativa, por lo que se puede intercambiar el primer con el segundo argumento sin variar la imagen:
Como ejemplo se tiene que el producto escalar en el espacio euclídeo es una forma bilineal simétrica.
Forma bilineal antisimetrica
Una forma bilineal antisimétrica es aquella en la que el intercambio de argumentos provoca un cambio de signo:
Se dice que una forma sesquilineal f es hermítica si es igual a su conjugada
se denomina que una forma hermítica f es positiva si a f (v, v)≥ 0[2]
Matriz asociada
Una forma bilineal se puede expresar de manera sencilla en forma matricial. Dadas una forma bilineal y una base del espacio vectorial V, se define la matriz asociada a la forma f respecto de la base B como:[3]
Donde cada entrada de la matriz es la imagen de los correspondientes vectores de la base por f: . Con la matriz así definida, la imagen por f de los vectores y sería:
Nótese que por ser un escalar, se verifica que
Bajo estas condiciones, puede demostrarse la siguiente propiedad.
Las matrices asociadas a formas simétricas son simétricas, y las matrices asociadas a formas antisimétricas son antisimétricas.
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En matematicas una forma bilineal sobre un espacio vectorial V displaystyle V es una aplicacion bilineal V V K displaystyle V times V to K donde K displaystyle K es el cuerpo de escalares En otras palabras una forma bilineal es una funcion que asocia un escalar a cada par de vectores tal que es lineal en cada uno de sus argumentos por separado 1 Cuando K displaystyle K es el cuerpo de numeros complejos C displaystyle mathbb C es mas interesante hablar de formas sesquilineales que son similares a las formas bilineales pero son conjugadas lineales en un argumento Indice 1 Definicion 1 1 Ejemplos 2 Propiedades 3 Forma bilineal simetrica y antisimetrica 3 1 Forma bilineal simetrica 3 2 Forma bilineal antisimetrica 3 3 Descomposicion de una forma bilineal cualquiera 4 Formas no degeneradas 5 Forma sesquilineal 6 Matriz asociada 7 Forma cuadratica asociada 8 Vease tambien 9 Referencias 9 1 Notas 9 2 Bibliografia 10 Enlaces externosDefinicion EditarDados un cuerpo K y un K espacio vectorial V una forma bilineal es una aplicacion f V V K displaystyle f V times V to K que verifica 1 f u 1 u 2 v f u 1 v f u 2 v displaystyle f u 1 u 2 v f u 1 v f u 2 v f u v 1 v 2 f u v 1 f u v 2 displaystyle f u v 1 v 2 f u v 1 f u v 2 f a u v a f u v displaystyle f au v af u v f u a v a f u v displaystyle f u av af u v para cualquier a K displaystyle a in K y u v u 1 u 2 v 1 y v 2 V displaystyle u v u 1 u 2 v 1 y v 2 in V Tambien se puede definir una forma bilineal como un caso particular de una forma multilineal en particular como un tensor de tipo 2 0 Ejemplos Editar El producto escalar en el espacio euclideo es una forma bilineal En particular dados dos vectores en el plano bidimensional R 2 displaystyle mathbb R 2 de la forma u a b displaystyle u a b y v c d displaystyle v c d su producto escalar viene dado por u v a c b d displaystyle langle u v rangle ac bd que se puede verificar que es una forma bilineal El determinante de una matriz cuadrada de dimension dos es una forma bilineal con respecto a los vectores columna de la matriz Dados dos vectores en el plano bidimensional R 2 displaystyle mathbb R 2 u a b displaystyle u a b y v c d displaystyle v c d y sea M u v a c b d displaystyle M begin bmatrix u amp v end bmatrix begin bmatrix a amp c b amp d end bmatrix se define f R 2 R 2 R f u v a d b c displaystyle f mathbb R 2 times mathbb R 2 longrightarrow mathbb R f u v ad bc denotado mas comunmente por det M a d b c displaystyle det M ad bc Propiedades EditarDe la definicion se tienen las siguientes propiedades f u 0 f 0 u 0 displaystyle f u 0 f 0 u 0 f u v f u v f u v displaystyle f u v f u v f u v f i a i u i j b j v j i j a i b j f u i v j displaystyle f sum i a i u i sum j b j v j sum i sum j a i b j f u i v j para todo a K displaystyle a in K y u v u 1 u 2 v 1 v 2 V displaystyle u v u 1 u 2 v 1 v 2 in V Forma bilineal simetrica y antisimetrica EditarUna forma bilineal puede tener un comportamiento especialmente simple frente al intercambio de los argumentos aun en el caso de que no lo tenga se puede descomponer de manera unica en dos formas bilineales que si lo tienen Forma bilineal simetrica Editar Una forma bilineal simetrica es aquella que es conmutativa por lo que se puede intercambiar el primer con el segundo argumento sin variar la imagen f u v f v u displaystyle f u v f v u Como ejemplo se tiene que el producto escalar en el espacio euclideo es una forma bilineal simetrica Forma bilineal antisimetrica Editar Una forma bilineal antisimetrica es aquella en la que el intercambio de argumentos provoca un cambio de signo f u v f v u displaystyle f u v f v u en particular se tiene que f v v 0 displaystyle f v v 0 Un ejemplo de ello es el simbolo de Levi Civita bidimensional Descomposicion de una forma bilineal cualquiera Editar Dada una forma bilineal cualquiera se puede definir su forma bilineal simetrica como f S 1 2 f x y f y x displaystyle f S frac 1 2 f x y f y x Analogamente la forma bilineal antisimetrica se define como f T 1 2 f x y f y x displaystyle f T frac 1 2 f x y f y x Las formas asi definidas componen la forma original f x y f S x y f T x y displaystyle f x y f S x y f T x y Formas no degeneradas EditarArticulo principal Forma bilineal no degeneradaForma sesquilineal EditarSi el cuerpo K es el cuerpo de numeros complejos C se puede definir una forma sesquilineal como f u 1 u 2 v f u 1 v f u 2 v displaystyle f u 1 u 2 v f u 1 v f u 2 v f u v 1 v 2 f u v 1 f u v 2 displaystyle f u v 1 v 2 f u v 1 f u v 2 f a u v a f u v displaystyle f au v af u v f u a v a f u v displaystyle f u av overline a f u v donde a displaystyle overline a en la ultima condicion denota al complejo conjugado Se dice que una forma sesquilineal f es hermitica si es igual a su conjugadase denomina que una forma hermitica f es positiva si a f v v 0 2 Matriz asociada EditarUna forma bilineal se puede expresar de manera sencilla en forma matricial Dadas una forma bilineal f V V K displaystyle f V times V to K y una base B e 1 e n displaystyle B e 1 e n del espacio vectorial V se define la matriz asociada a la forma f respecto de la base B como 3 A a 1 1 a 1 2 a 1 n a 2 1 a 2 2 a 2 n a n 1 a n 2 a n n displaystyle mathbb A begin pmatrix a 1 1 amp a 1 2 amp cdots amp a 1 n a 2 1 amp a 2 2 amp cdots amp a 2 n vdots amp vdots amp ddots amp vdots a n 1 amp a n 2 amp cdots amp a n n end pmatrix Donde cada entrada de la matriz es la imagen de los correspondientes vectores de la base por f a i j f e i e j displaystyle a i j f e i e j Con la matriz asi definida la imagen por f de los vectores u u 1 u n displaystyle u u 1 u n y v v 1 v n displaystyle v v 1 v n seria f u v u t A v u 1 u 2 u n a 1 1 a 1 2 a 1 n a 2 1 a 2 2 a 2 n a n 1 a n 2 a n n v 1 v 2 v n displaystyle f u v u t cdot mathbb A cdot v u 1 u 2 u n cdot begin pmatrix a 1 1 amp a 1 2 amp cdots amp a 1 n a 2 1 amp a 2 2 amp cdots amp a 2 n vdots amp vdots amp ddots amp vdots a n 1 amp a n 2 amp cdots amp a n n end pmatrix cdot begin pmatrix v 1 v 2 vdots v n end pmatrix Notese que por ser f u v K displaystyle f u v in K un escalar se verifica que f u v u t A v v t A t u f u v t displaystyle f u v u t mathbb A v v t mathbb A t u Big f u v Big t Bajo estas condiciones puede demostrarse la siguiente propiedad Las matrices asociadas a formas simetricas son simetricas y las matrices asociadas a formas antisimetricas son antisimetricas DemostracionEl enunciado puede reescribirse como un par de implicaciones dobles f es simetrica si y solo si su matriz asociada es simetrica f es antisimetrica si y solo si su matriz asociada es antisimetrica con la sustitucion de las definiciones correspondientes se tiene para todo u v en V f u v f v u A A t displaystyle f u v f v u iff mathbb A mathbb A t por un lado y f u v f v u A A t displaystyle f u v f v u iff mathbb A mathbb A t Se demuestra cada proposicion por separado displaystyle Longrightarrow por hipotesis f u v f v u displaystyle f u v f v u luego 0 f u v f v u u t A v u t A t v u t A A t v displaystyle 0 f u v f v u u t cdot mathbb A cdot v u t cdot mathbb A t cdot v u t cdot left mathbb A mathbb A t right cdot v como la igualdad es cierta para todo u v tiene que ser A A t displaystyle mathbb A mathbb A t displaystyle Longleftarrow Escribimos nuevamente a f en forma matricial f u v u t A v v t A t u displaystyle f u v u t cdot mathbb A cdot v v t cdot mathbb A t cdot u pero como por hipotesis A t A displaystyle mathbb A t mathbb A f u v v t A u f v u displaystyle f u v v t cdot mathbb A cdot u f v u displaystyle Longrightarrow La prueba es analoga 0 f u v f v u u t A v u t A t v u t A A t v displaystyle 0 f u v f v u u t cdot mathbb A cdot v u t cdot mathbb A t cdot v u t cdot left mathbb A mathbb A t right cdot v por lo tanto A A t displaystyle mathbb A mathbb A t displaystyle Longleftarrow Escribimos nuevamente a f en forma matricialf u v u t A v u t A t v v t A u f v u displaystyle f u v u t cdot mathbb A cdot v u t cdot mathbb A t cdot v v t cdot mathbb A cdot u f v u Forma cuadratica asociada EditarDada una forma bilineal se puede definir su forma cuadratica asociada como F V K displaystyle Phi V longrightarrow K dado por F x f x x displaystyle Phi x f x x Ademas cada forma cuadratica tiene una forma bilineal asociada denominada forma polar Vease tambien EditarForma cuadratica TensorReferencias EditarNotas Editar a b Weisstein Eric W Forma bilineal En Weisstein Eric W ed MathWorld en ingles Wolfram Research Consultado el 13 de abril de 2014 Lugovaia et al Op cit Merino y Santos 2006 p 270 Bibliografia Editar Merino Luis Santos Evangelina 2006 Algebra lineal con metodos elementales Paraninfo ISBN 9788497324816 Enlaces externos EditarForma bilineal en PlanetMath Datos Q837924 Multimedia Bilinear forms Q837924 Obtenido de https es wikipedia org w index php title Forma bilineal amp oldid 146564709, wikipedia, wiki, leyendo, leer, libro, biblioteca,