En geometría, las aristas son las líneas que conforman una figura geométria y los vértices son los puntos que unen las aristas.
La figura de vértice de un prisma triangular es un triángulo isósceles. La cara triangular del prisma forma el lado corto del isósceles y las dos caras cuadradas del prisma forman los lados largos del isósceles.
Figura de vértice de un cubo truncado a media arista.
Un tipo de figura de vértice es el polígono resultante cuando, tomando un único vértice de un poliedro, se dibujan segmentos rectilíneos uniendo sobre las caras los puntos medios de todas las aristas que pasan a través del vértice dado. Estarán en un plano, si en el vértice se encuentran no más de tres aristas, y también en el caso de un sólido platónico. Si se realiza un corte a través de la esquina siguiendo estas líneas, aparece la figura de vértice correspondiente.
Por ejemplo, tomando el cubo, hay tres aristas que definen cualquier vértice. Pueden dibujarse tres líneas entre sus puntos medios, y la figura de vértice será entonces un triángulo. Como los ángulos de las tres caras que se encuentran en el vértice son iguales, el triángulo es equilátero.
Propiedades
Las figuras de vértice pueden generalizarse a politopos con un número de dimensiones mayor, notando simplemente que la figura de vértice de un politopo n-dimensional es de dimensión n-1. Por lo tanto, las figuras de vértice del hipercubo y del 4-simplex son tetraedros.
La figura de vértice de un politopo regular es ella misma regular, y esta es una de las dos reglas necesarias para caracterizar un politopo regular (la otra es que tenga celdas regulares). Esto se ve fácilmente cuando se escriben los símbolos de Schläfli que describen el politopo, pues para el politopo descrito por
{j,k,...,x,y},
tanto
{j,k,...,x}
como
{k,...,x,y}
deben ser politopos regulares.
Se han descrito diversos tipos de figuras de vértice con distintos propósitos. En lugar de tomar el punto medio de cada arista, podría desearse tomar puntos a distancia unitaria a lo largo de cada arista, o también puntos en el extremo de cada arista (es decir, en los vértices adyacentes) y trazar líneas entre estos.
Para los politopos regulares y uniformes (semiregulares), estos tipos de figuras de vértice son siempre planas, pero para los politopos irregulares (como los toroides) son habitualmente alabeados.
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