Circuncónica e incónica

En la geometría del triángulo, una circuncónica es una curva cónica que pasa por los tres vértices de un triángulo dado,^[1]​ y una incónica es una curva cónica inscrita en los lados (incluso extendidos) de un triángulo.^[2]​

Ejemplos de una incónica (la inelipse de Steiner, en color rojo) y de una circuncónica (la circunelipse de Steiner, en color magenta).

Supóngase que A, B, C son distintos puntos no colineales, y que ΔABC designa el triángulo cuyos vértices son A, B, C. Siguiendo la práctica común, A denota no solo el vértice, sino también el ángulo BAC en el vértice A, y de manera similar para B y C como ángulos en ΔABC. Sean a = |BC|, b = |CA|, c = |AB|, las longitudes de los lados de ΔABC.

En coordenadas trilineales, una circuncónica general es el lugar geométrico de los puntos X = x : y : z que satisfacen la ecuación

uyz + vzx + wxy = 0,

para algún punto u : v : w. El conjugado isogonal de cada punto X de la circuncónica, que no sea A, B, C, es un punto de la línea

ux + vy + wz = 0.

Esta línea coincide con la circunferencia circunscrita de ΔABC en 0, 1 o 2 puntos, según la circuncónica sea una elipse, una parábola o una hipérbola.

Una incónica general es tangente a las tres líneas rectas laterales de ΔABC y está dada por la ecuación

u²x² + v²y² + w²z² − 2vwyz − 2wuzx − 2uvxy = 0.

Centros y líneas tangentes

Circuncónica

El centro de una circuncónica general es el punto

u (− au + bv + cw) : v (au − bv + cw) : w (au + bv − cw).

Las líneas tangentes a una circuncónica general en los vértices A, B, C son, respectivamente,

wv + vz = 0,

uz + wx = 0,

vx + uy = 0.

Incónica

El centro de una incónica general es el punto

cy + bz : az + cx : bx + ay.

Las líneas tangentes a una incónica general son las líneas rectas laterales de ΔABC, dadas por las ecuaciones x = 0, y = 0, z = 0.

Otras características

Circuncónica

• Cada circuncónica no circular se corta con la circunferencia circunscrita de ΔABC en un punto que no sea A, B o C, a menudo llamado el cuarto punto de intersección, dado por las coordenadas trilineales

(cx − az) (ay − bx) : (ay − bx) (bz − cy) : (bz − cy) (cx − az)

• Si P = p : q : r es un punto en una circuncónica general, entonces la tangente a la cónica en P viene dada por

(vr + wq) x + (wp + ur) y + (uq + vp) z = 0.

• La circuncónica general se reduce a una parábola si y solo si

u²a² + v²b² + w²c² − 2vwbc − 2wuca − 2vavab = 0,

y a una hipérbola si y solo si

u cos A + v cos B + w cos C = 0.

• De todos los triángulos inscritos en una elipse dada, el centroide del que tiene el área más grande coincide con el centro de la elipse.^[3]​^:p.147 La elipse dada, pasando por los tres vértices de este triángulo y centrada en el centroide del triángulo, se llama circunelipse de Steiner.

Incónica

• Una incónica general se reduce a una parábola si y solo si

ubc + vca + wab = 0,

en cuyo caso es tangente externamente a uno de los lados del triángulo y es tangente a los otros dos lados extendidos.

• Supóngase que p₁ : q₁ : r₁ y p₂ : q₂ : r₂ son puntos distintos, y sea

X = (p₁ + p₂t) : (q₁ + q₂t) : (r₁ + r₂t).

Como el parámetro t se extiende a través del dominio de los números reales, el lugar geométrico de X es una recta. Definiendo

X² = (p₁ + p₂t) ² : (q₁ + q₂t) ² : (r₁ + r₂t)²,

el lugar geométrico de X² es la incónica, necesariamente una elipse, dada por la ecuación

L⁴x² + M⁴y² + N⁴z² − 2M²N²yz − 2N²L²zx − 2L²M²xy = 0,

donde

L = q₁r₂ − r₁q₂,

M = r₁p₂ − p₁r₂,

N = p₁q₂ − q₁p₂.

• Un punto en el interior de un triángulo es el centro de una inelipse del propio triángulo si y solo si el punto se encuentra en el interior del triángulo cuyos vértices se encuentran en los puntos medios de los lados del triángulo original.^[3]​^:p.139 Para un punto dado dentro del triángulo medial, la inelipse con su centro en ese punto es única.^[3]​^:p.142
• La inelipse con el área más grande es la inelipse de Steiner, también llamada la inelipse del punto medio, con su centro en el centroide^[3]​^:p.145 del triángulo. En general, la relación entre el área de la inelipse y el área del triángulo, en términos de las coordenadas baricéntricas de suma unidad ${\displaystyle (\alpha ,\beta ,\gamma )}$  del centro de la inelipse, es^[3]​^:p.143

${\displaystyle {\frac {\text{Área de la inelipse}}{\text{Área del triángulo}}}=\pi {\sqrt {(1-2\alpha )(1-2\beta )(1-2\gamma )}},}$ 

que se maximiza para las coordenadas baricéntricas del centroide ${\displaystyle \alpha =\beta =\gamma =1/3.}$ 

• Las líneas que conectan los puntos de tangencia de cualquier inelipse de un triángulo con los vértices opuestos del triángulo son concurrentes.^[3]​^:p.148

Extensión a los cuadriláteros

Todos los centros de inelipses de un cuadrilátero dado caen en el segmento de línea recta que conecta los puntos medios de las diagonales del cuadrilátero. ^[3]​^:p.136

Ejemplos

• Circuncónicas
  • Circunferencia circunscrita, la única circunferencia que pasa por los tres vértices de un triángulo
  • Circunelipse de Steiner, la única elipse que pasa por los tres vértices de un triángulo y tiene su centro en el centroide del triángulo
  • Hipérbola de Kiepert, la única cónica que pasa por los tres vértices de un triángulo, su centroide y su ortocentro
  • Hipérbola de Jeřábek, una hipérbola centrada en la circunferencia de los nueve puntos de un triángulo y que pasa por los tres vértices del triángulo, así como su circunferencia circunscrita, ortocentro y varios otros centros notables
  • Hipérbola de Feuerbach, una hipérbola equilátera que pasa a través del ortocentro de un triángulo, del punto de Nagel y de varios otros puntos notables, y tiene su centro en el círculo de nueve puntos.
• Incónicas
  • Incírculo, el único círculo que es internamente tangente a los tres lados de un triángulo
  • Inelipse de Steiner, la única elipse que es tangente a los tres lados de un triángulo en sus puntos medios
  • Inelipse de Mandart, la única elipse tangente a los lados de un triángulo en los puntos de contacto de sus excircunferéncias
  • Parábola de Kiepert
  • Parábola de Yff

Referencias

1. Weisstein, Eric W. "Circumconic." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/Circumconic.html
2. Weisstein, Eric W. "Inconic." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/Inconic.htm (enlace roto disponible en Internet Archive; véase el historial, la primera versión y la última).
3. Chakerian, G. D. "A Distorted View of Geometry." Ch. 7 in Mathematical Plums (R. Honsberger, editor). Washington, DC: Mathematical Association of America, 1979.

Enlaces externos

• Circumconic en MathWorld
• Inconic en MathWorld

•   Datos: Q3797698