Índice (teoría de grupos)

En álgebra abstracta (específicamente en teoría de grupos), el índice de un subgrupo H en un grupo G se refiere al número de clases laterales en que un subgrupo H particiona a G.

Introducción

^[1]​ Cada subgrupo H de G permite definir dos relaciones de equivalencia sobre G, denotadas por ${\displaystyle \sim _{H}}$  (equivalencia por la izquierda) y ${\displaystyle {}_{H}\!\!\sim }$  (equivalencia por la derecha). Se definen como:

• ${\displaystyle \forall x,y\in G:}$ 

  ${\displaystyle x\sim _{H}y\iff \exists h\in H:y=xh\iff x^{-1}y\in H}$ 

  ${\displaystyle \!x\,\,{}_{H}\!\!\sim y\iff \exists h\in H:y=hx\iff yx^{-1}\in H}$ 

Las llamadas clases laterales son las clases de equivalencia definidas por estas relaciones. Se denotan como ${\displaystyle gH}$  en el caso de ${\displaystyle \sim _{H}}$ , o bien como ${\displaystyle Hg}$  para ${\displaystyle {}_{H}\!\!\sim }$ . Las respectivas particiones de G son denotadas por G:H y H:G. Es decir:

• ${\displaystyle G:H:=G/\sim _{H}\,=\{gH:g\in G\}}$ 

• ${\displaystyle H:G:=G/{}_{H}\!\!\sim \,=\{Hg:g\in G\}}$ 

Definición

Sea G un grupo y sea ${\displaystyle H\subseteq G}$  un subgrupo de G. Al cardinal

${\displaystyle i(H,G):=|H:G|=|G:H|}$ 

se le denomina índice de H en G. Otras notaciones frecuentes para ${\displaystyle i(H,G)}$  son ${\displaystyle i_{G}(H)}$  o también ${\displaystyle [G:H]}$ .

En el caso de que G sea finito, tenemos la identidad:

${\displaystyle i(H,G)=|G|/|H|}$ 

donde se ha utilizado la notación clásica, |G|, para el orden de un grupo.

Referencias

1. Bujalance García, E.; Etayo Gordejuela, J. J.; Gamboa Mutuberría, J. M. (2002). «1. Generalidades. Teorema de Lagrange -- IV. Índice de un subgrupo». En Cuadernos de la UNED, ed. Teoría elemental de grupos. España: UNED. ISBN 978-84-362-4436-6. 

•   Datos: Q1464168