Wronskiano

En matemática, el wronskiano es un determinante introducido en 1812^[1]​ por el matemático polaco Józef Hoene-Wroński (1776-1853) y nombrado en 1882^[2]​ por el matemático escocés Thomas Muir (1844 – 1934). Se utiliza en el estudio de las ecuaciones diferenciales ordinarias, donde a veces puede ser utilizado para mostrar que un conjunto de soluciones es linealmente independiente.

Dado un conjunto de ${\displaystyle n}$ funciones que son (${\displaystyle n-1}$)-veces derivables, ${\displaystyle f_{1},f_{2},...,f_{n}}$, el wronskiano ${\displaystyle W(f_{1},f_{2},...,f_{n})}$está dado por:

${\displaystyle W(f_{1},\ldots ,f_{n})(x)={\begin{vmatrix}f_{1}(x)&f_{2}(x)&\cdots &f_{n}(x)\\f_{1}'(x)&f_{2}'(x)&\cdots &f_{n}'(x)\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\f_{1}^{(n-1)}(x)&f_{2}^{(n-1)}(x)&\cdots &f_{n}^{(n-1)}(x)\end{vmatrix}},\qquad x\in I.}$

El wronskiano es el determinante de la matriz construida al colocar las funciones en el primer renglón (o fila), la primera derivada de cada función en el segundo renglón, y así hasta la derivada n-1, formando así una matriz cuadrada, algunas veces llamada matriz fundamental.

En una ecuación diferencial lineal de segundo orden, el wronskiano puede ser calculado por computadora más fácilmente por la identidad de Abel.

El wronskiano y dependencia lineal (DAMA)

El wronskiano puede usarse para determinar si un conjunto de funciones es linealmente independiente en un intervalo dado:

• si el wronskiano es distinto de cero en algún punto de un intervalo, entonces las funciones asociadas son linealmente independientes en el intervalo.

Esto es útil en muchas situaciones. Por ejemplo, si queremos verificar si dos soluciones de una ecuación diferencial de segundo orden son independientes, quizás podamos usar el wronskiano. Notése que si el wronskiano es cero uniformemente sobre el intervalo, las funciones pueden ser o no ser linealmente independientes.

• si un conjunto de funciones es linealmente dependiente en un intervalo, esto implica obligatoriamente que el wronskiano correspondiente es uniformemente cero en el intervalo, pero lo segundo no implica lo primero.

Una malinterpretación común (desafortunadamente promulgada en muchos textos) es que si ${\displaystyle W=0}$  en cualquier lugar, implica una dependencia lineal - lo que es incorrecto. Sin embargo si ${\displaystyle f_{1},}$ ...${\displaystyle ,f_{n}}$  son funciones analíticas y ${\displaystyle W=0}$  en todas partes, entonces ${\displaystyle f_{1},}$ ...${\displaystyle ,f_{n}}$  son linealmente dependientes.

Ejemplos

• Considérese las funciones ${\displaystyle x^{2},}$  ${\displaystyle x,}$  y ${\displaystyle 1,}$  definidas para un número real x. Obténgase el wronskiano:

${\displaystyle W={\begin{vmatrix}x^{2}&x&1\\2x&1&0\\2&0&0\end{vmatrix}}=-2.}$ 

Se ve que ${\displaystyle W}$  no es cero uniforme, así que estas funciones deben ser linealmente independientes.

• Considérese las funciones ${\displaystyle 2x^{2}+3}$ , ${\displaystyle x^{2}}$ , y ${\displaystyle 1}$ . Estas funciones son claramente dependientes, ya que ${\displaystyle 2x^{2}+3=2(x^{2})+3(1)}$ . Así, el wronskiano debe ser cero, siguiendo un pequeño cálculo:

${\displaystyle W={\begin{vmatrix}2x^{2}+3&x^{2}&1\\4x&2x&0\\4&2&0\end{vmatrix}}=8x-8x=0.}$ 

• Como se mencionaba anteriormente, si el wronskiano es cero, esto no significa en general que las funciones involucradas son linealmente dependientes. Considerando las funciones ${\displaystyle x^{3}}$  y ${\displaystyle |x^{3}|}$ ; esto es, el valor absoluto de ${\displaystyle x^{3}}$ . La segunda función puede ser escrita así:

${\displaystyle |x^{3}|=\left\{{\begin{matrix}-x^{3},&\mathrm {si} \;x<0\\x^{3},&\mathrm {si} \;x\geq 0\end{matrix}}\right.}$ 

Se puede revisar que estas dos funciones son linealmente independientes sobre el conjunto de número reales, sin embargo, su wronskiano parece ser cero:

${\displaystyle W=\left\{{\begin{matrix}{\begin{vmatrix}x^{3}&-x^{3}\\3x^{2}&-3x^{2}\end{vmatrix}}=-3x^{5}+3x^{5}=0,&\mathrm {si} \;x<0\\{\begin{vmatrix}x^{3}&x^{3}\\3x^{2}&3x^{2}\end{vmatrix}}=3x^{5}-3x^{5}=0,&\mathrm {si} \;x\geq 0\end{matrix}}\right.}$ 

Definición abstracta

Hay un sentido en el que el wronskiano de una ecuación diferencial lineal de orden n-ésimo es el producto exterior n-ésimo. Para implementar esa idea se debe trabajar con algunas formulaciones en las que las ecuaciones diferenciales son suficientemente parecidas a vectores en el espacio: por ejemplo en el lenguaje del fibrado vectorial llevando una conexión.

Comprobación: el wronskiano y dependencia lineal

El teorema es significativamente fácil de probar por medio de su segunda declaración mencionada anteriormente, siendo: Si las funciones son linealmente dependientes sobre el intervalo, entonces lo son también las columnas de la matriz wronskiana asociada (la diferenciación es una operación lineal); consecuentemente, el determinante wronskiano es cero en todos los puntos del intervalo.

Notas

1. Hoene-Wronski, J. (1812), Réfutation de la théorie des fonctions analytiques de Lagrange, París.
2. Muir, Thomas (1882), A Treatise on the Theorie of Determinants, capítulo XVIII, Macmillan, JFM 15.0118.05.

Véase también

• Identidad de Abel

Enlaces externos

• (en inglés)
• Calcular un wronskiano con Sagemath

•   Datos: Q124743