En matemática, especialmente en álgebra abstracta, el término unidad, elemento invertible o simplemente invertible en un anilloR con identidad multiplicativa 1R, se refiere a un elemento u tal que existe un v, llamado el inverso multiplicativo en R con
u·v = v·u = 1R.
Donde la operación · es la operación multiplicativa del anillo R.
Elementos de esta naturaleza cumplen
El inverso multiplicativo es único
El conjunto de todos los invertibles junto con la operación multiplicativa del anillo forman un grupo denotado por U(R).
Algo a tener en cuenta es que el término unidad debe diferenciarse de la 'unidad' en los anillos unitarios.
Ejemplos
En el anillo de enteros, Z, las unidades son ±1.
En el anillo de enteros módulo n, Z/nZ, las unidades son las clases congruentes módulo n que son coprimos a n. Estos constituyen el grupo multiplicativo de enteros módulo n.
Cualquier raíz de la unidad (esto es, solución de la ecuación xn=1) es un invertible en cualquier anillo con unidad R. (Si r es la raíz de la unidad, y rn = 1, entonces r−1 = rn − 1 es también un elemento de R.)
Si R es el anillo de enteros en un cuerpo numérico, el teorema de las unidades de Dirichlet establece que el grupo de invertibles de R es un grupo abeliano finitamente generado. Por ejemplo, (√5 + 2)(√5 − 2) = 1 en el anillo de enteros de Q[√5], de hecho el grupo de invertibles es finito. En general, el grupo de invertibles de un campo real cuadrático es siempre finito.
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