En geometría, un romboedro es una figura tridimensional, como un cubo, del que se diferencia porque sus 6 caras son rombos no cuadrados. Puede definirse como un poliedro de seis caras (hexaedro), todos ellas rombos idénticos. No se trata de un poliedro regular, porque aunque sus caras son todas iguales (uniformes), no son polígonos regulares.
Un caso particular de romboedro es el que se halla truncado por sus vértices agudos, produciendo seis caras idénticas con forma de pentágono irregular, y dos caras triangulares regulares, paralelas entre sí. En algún caso se busca el poliedro que tenga todos sus vértices en una esfera circunscrita.
Sólido de Durero
Romboedro truncado, tal como aparece en el grabado de Durero.
Dibujo preparatorio para el grabado Melancolía I; véase también este boceto.
Este poliedro a veces se denomina sólido de Durero, por su aparición en el grabado Melancolía I de 1514 de Alberto Durero. El gráfico formado por sus bordes y vértices se llama grafo de Durero.
La forma del sólido representado por Durero es tema de debate académico.[1] Según Lynch (1982), la hipótesis de que la forma es un cubo truncado fue propuesta por Strauss (1972); sin embargo, la mayoría de las fuentes están de acuerdo en que es el truncamiento de un romboedro. A pesar de este acuerdo, la geometría exacta de este romboedro es objeto de varias teorías contradictorias:
Richter (1957) afirma que los rombos del romboedro a partir del cual se construye esta forma tienen una relación de 5: 6 entre sus diagonales cortas y largas, según lo que los ángulos agudos de los rombos serían aproximadamente 80°.
Schröder (1980) y Lynch (1982), en cambio, concluyen que la relación es √3:2 y que el ángulo es de aproximadamente 82°.
MacGillavry (1981) mide las características del dibujo y encuentra que el ángulo es de aproximadamente 79°. Él y un autor posterior, Wolf von Engelhardt (see Hideko, 2009) argumentan que esta elección de ángulo proviene de su presencia física en los cristales de calcita.
Schreiber (1999) argumenta, basado en los escritos de Durero, que todos los vértices del sólido de Durero se encuentran en una esfera común, y además afirma que los ángulos agudos del rombo son de 72°. Hideko (2009) enumera a varios otros estudiosos que también aplauden la teoría de 72°, comenzando con Paul Grodzinski en 1955. Argumenta que esta teoría está menos motivada por el análisis del dibujo real, y más por los principios estéticos relacionados con los pentágonos regulares y la Sección Áurea.
Weitzel (2004) analiza un boceto de Durero (1510) del mismo sólido, a partir del cual confirma la hipótesis de Schreiber de que la forma tiene una esfera circunscrita pero con ángulos de rombo de aproximadamente 79.5 °.
Hideko, 2009 sostiene que la forma pretende representar una solución al famoso problema geométrico de duplicar el cubo, sobre el que también escribió Durero en 1525. Por lo tanto, concluye que (antes de cortar las esquinas) la forma es un cubo estirado por su diagonal larga. Más específicamente, argumenta que Durero dibujó un cubo real, con la diagonal larga paralela al plano de perspectiva, y luego amplió su dibujo por algún factor en la dirección de la diagonal larga; el resultado sería el mismo que si hubiera dibujado el sólido alargado. El factor de ampliación que es relevante para duplicar el cubo es 21/3 ≈ 1.253, pero Hideko deriva un factor de ampliación diferente que se ajusta mejor al dibujo, 1.277, de un modo más complicado.
Futamura, Frantz y Crannell (2014) clasifican las soluciones propuestas para este problema según dos parámetros: el ángulo agudo y el nivel de corte, denominado relación cruzada. Su estimación de la relación cruzada es cercana a la de MacGillavry, y tiene un valor numérico cercano a la Sección Áurea. Basados en esto, postulan que el ángulo agudo es y que la relación entre las diagonales es exactamente (phi, o la sección aúrea).
Lynch, Terence (1982), «The geometric body in Dürer's engraving Melencolia I», Journal of the Warburg and Courtauld Institutes (The Warburg Institute) 45: 226-232, JSTOR 750979, doi:10.2307/750979..
MacGillavry, C. (1981), «The polyhedron in A. Dürers Melencolia I», Nederl. Akad. Wetensch. Proc. Ser. B84: 287-294.. Citado por Weitzel (2004).
Richter, D. H. (1957), «Perspektive und Proportionen in Albrecht Dürers "Melancholie"», Z. Vermessungswesen82: 284-288 y 350-357.. Citado por Weitzel (2004).
Schreiber, Peter (1999), «A new hypothesis on Dürer's enigmatic polyhedron in his copper engraving "Melencolia I"», Historia Mathematica26: 369-377, doi:10.1006/hmat.1999.2245..
Schröder, E. (1980), Dürer, Kunst und Geometrie, Dürers künstlerisches Schaffen aus der Sicht seiner "Underweysung", Basel.. Citado por Weitzel (2004).
Strauss, Walter L. (1972), The Complete Engravings of Dürer, New York, p. 168, ISBN0-486-22851-7.. Citado por Lynch (1982).
Weber, P. (1900), Beiträge zu Dürers Weltanschauung—Eine Studie über die drei Stiche Ritter, Tod und Teufel, Melancholie und Hieronymus im Gehäus, Strassburg.. Citado por Weitzel (2004).
Weitzel, Hans (2004), «A further hypothesis on the polyhedron of A. Dürer's engraving Melencolia I», Historia Mathematica31 (1): 11-14, doi:10.1016/S0315-0860(03)00029-6..
Hideko, Ishizu (2009), «Another solution to the polyhedron in Dürer's Melencolia: A visual demonstration of the Delian problem», Aesthetics (The Japanese Society for Aesthetics) 13: 179-194..
Ziegler, Günter M. (3 de diciembre de 2014), «Dürer's polyhedron: 5 theories that explain Melencolia's crazy cube», Alex Bellos's Adventures in Numberland, The Guardian..
Futamura, F.; Frantz, M.; Crannell, A. (2014), «The cross ratio as a shape parameter for Dürer's solid», Journal of Mathematics and the Arts8 (3-4): 111-119, arXiv:1405.6481, doi:10.1080/17513472.2014.974483..
romboedro, geometría, romboedro, figura, tridimensional, como, cubo, diferencia, porque, caras, rombos, cuadrados, puede, definirse, como, poliedro, seis, caras, hexaedro, todos, ellas, rombos, idénticos, trata, poliedro, regular, porque, aunque, caras, todas,. En geometria un romboedro es una figura tridimensional como un cubo del que se diferencia porque sus 6 caras son rombos no cuadrados Puede definirse como un poliedro de seis caras hexaedro todos ellas rombos identicos No se trata de un poliedro regular porque aunque sus caras son todas iguales uniformes no son poligonos regulares El romboedro tiene seis caras con forma de rombo El cubo tiene seis caras cuadradas Indice 1 Romboedro truncado 1 1 Solido de Durero 2 Notas 3 Referencias 4 ReferenciasRomboedro truncado EditarUn caso particular de romboedro es el que se halla truncado por sus vertices agudos produciendo seis caras identicas con forma de pentagono irregular y dos caras triangulares regulares paralelas entre si En algun caso se busca el poliedro que tenga todos sus vertices en una esfera circunscrita Solido de Durero Editar Romboedro truncado tal como aparece en el grabado de Durero Dibujo preparatorio para el grabado Melancolia I vease tambien este boceto Este poliedro a veces se denomina solido de Durero por su aparicion en el grabado Melancolia I de 1514 de Alberto Durero El grafico formado por sus bordes y vertices se llama grafo de Durero La forma del solido representado por Durero es tema de debate academico 1 Segun Lynch 1982 la hipotesis de que la forma es un cubo truncado fue propuesta por Strauss 1972 sin embargo la mayoria de las fuentes estan de acuerdo en que es el truncamiento de un romboedro A pesar de este acuerdo la geometria exacta de este romboedro es objeto de varias teorias contradictorias Richter 1957 afirma que los rombos del romboedro a partir del cual se construye esta forma tienen una relacion de 5 6 entre sus diagonales cortas y largas segun lo que los angulos agudos de los rombos serian aproximadamente 80 Schroder 1980 y Lynch 1982 en cambio concluyen que la relacion es 3 2 y que el angulo es de aproximadamente 82 MacGillavry 1981 mide las caracteristicas del dibujo y encuentra que el angulo es de aproximadamente 79 El y un autor posterior Wolf von Engelhardt see Hideko 2009 argumentan que esta eleccion de angulo proviene de su presencia fisica en los cristales de calcita Schreiber 1999 argumenta basado en los escritos de Durero que todos los vertices del solido de Durero se encuentran en una esfera comun y ademas afirma que los angulos agudos del rombo son de 72 Hideko 2009 enumera a varios otros estudiosos que tambien aplauden la teoria de 72 comenzando con Paul Grodzinski en 1955 Argumenta que esta teoria esta menos motivada por el analisis del dibujo real y mas por los principios esteticos relacionados con los pentagonos regulares y la Seccion Aurea Weitzel 2004 analiza un boceto de Durero 1510 del mismo solido a partir del cual confirma la hipotesis de Schreiber de que la forma tiene una esfera circunscrita pero con angulos de rombo de aproximadamente 79 5 Hideko 2009 sostiene que la forma pretende representar una solucion al famoso problema geometrico de duplicar el cubo sobre el que tambien escribio Durero en 1525 Por lo tanto concluye que antes de cortar las esquinas la forma es un cubo estirado por su diagonal larga Mas especificamente argumenta que Durero dibujo un cubo real con la diagonal larga paralela al plano de perspectiva y luego amplio su dibujo por algun factor en la direccion de la diagonal larga el resultado seria el mismo que si hubiera dibujado el solido alargado El factor de ampliacion que es relevante para duplicar el cubo es 21 3 1 253 pero Hideko deriva un factor de ampliacion diferente que se ajusta mejor al dibujo 1 277 de un modo mas complicado Futamura Frantz y Crannell 2014 clasifican las soluciones propuestas para este problema segun dos parametros el angulo agudo y el nivel de corte denominado relacion cruzada Su estimacion de la relacion cruzada es cercana a la de MacGillavry y tiene un valor numerico cercano a la Seccion Aurea Basados en esto postulan que el angulo agudo es 2 arctan f 2 78 displaystyle 2 arctan varphi 2 approx 78 circ y que la relacion entre las diagonales es exactamente f displaystyle varphi phi o la seccion aurea Notas Editar Ver Weitzel 2004 y Ziegler 2014 de los que se ha tomado lo que sigueReferencias EditarLynch Terence 1982 The geometric body in Durer s engraving Melencolia I Journal of the Warburg and Courtauld Institutes The Warburg Institute 45 226 232 JSTOR 750979 doi 10 2307 750979 MacGillavry C 1981 The polyhedron in A Durers Melencolia I Nederl Akad Wetensch Proc Ser B 84 287 294 Citado por Weitzel 2004 Richter D H 1957 Perspektive und Proportionen in Albrecht Durers Melancholie Z Vermessungswesen 82 284 288 y 350 357 Citado por Weitzel 2004 Schreiber Peter 1999 A new hypothesis on Durer s enigmatic polyhedron in his copper engraving Melencolia I Historia Mathematica 26 369 377 doi 10 1006 hmat 1999 2245 Schroder E 1980 Durer Kunst und Geometrie Durers kunstlerisches Schaffen aus der Sicht seiner Underweysung Basel Citado por Weitzel 2004 Strauss Walter L 1972 The Complete Engravings of Durer New York p 168 ISBN 0 486 22851 7 Citado por Lynch 1982 Weber P 1900 Beitrage zu Durers Weltanschauung Eine Studie uber die drei Stiche Ritter Tod und Teufel Melancholie und Hieronymus im Gehaus Strassburg Citado por Weitzel 2004 Weitzel Hans 2004 A further hypothesis on the polyhedron of A Durer s engraving Melencolia I Historia Mathematica 31 1 11 14 doi 10 1016 S0315 0860 03 00029 6 Hideko Ishizu 2009 Another solution to the polyhedron in Durer s Melencolia A visual demonstration of the Delian problem Aesthetics The Japanese Society for Aesthetics 13 179 194 Ziegler Gunter M 3 de diciembre de 2014 Durer s polyhedron 5 theories that explain Melencolia s crazy cube Alex Bellos s Adventures in Numberland The Guardian Futamura F Frantz M Crannell A 2014 The cross ratio as a shape parameter for Durer s solid Journal of Mathematics and the Arts 8 3 4 111 119 arXiv 1405 6481 doi 10 1080 17513472 2014 974483 Referencias EditarEsta obra contiene una traduccion derivada de Truncated triangular 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